高考数学一轮复习第8章第7节抛物线学案

第七节　抛物线

考试要求：1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．

2．了解抛物线的简单几何性质．

一、教材概念·结论·性质重现

1．抛物线的概念

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线标准方程与几何性质

3．重要结论

直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝．

(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p．此时AB称为抛物线的通径．

(3)＋＝．

(4)弦长|AB|＝(α为AB的倾斜角)，|AF|＝，|BF|＝，S△AOB＝．

(5)以AB为直径的圆与准线相切，以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切．

(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．

(7)A，O，D三点共线；B，O，C三点共线．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．                            (　×　)

(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4． (　×　)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　×　)

(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－．                            (　×　)

2．已知抛物线y2＝x，则它的准线方程为(　　)

A．y＝－2   B．y＝2

C．x＝－   D．x＝

C　解析：因为抛物线y2＝x，所以p＝，＝，它的准线方程为x＝－．

3．点M到点F(－4,0) 的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　)

A．y2＝16x 

B．y2＝－16x

C．y2＝24x 

D．y2＝－24x

B　解析：因为点M到点F(－4,0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离少2，

所以将直线l：x－6＝0左移2个单位，得到直线x－4＝0，即x＝4，

可得点M到直线x＝4的距离等于它到点(－4,0)的距离．

根据抛物线的定义，可得点M的轨迹是以点(－4,0)为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，可得＝4，得2p＝16，

所以抛物线的方程为y2＝－16x，即为点M的轨迹方程．故选B．

4．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)

A．－   B．－ 

C．   D．

B　解析：由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－y，则焦点坐标为F，准线方程为y＝．设M(x0，y0)，则由抛物线的定义可得－y0＋＝1，解得y0＝－．故选B．

5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_________．

6　解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6．

考点1　抛物线的标准方程——基础性

1．顶点在原点，经过点(－，6)，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝12x或x2＝－y

B．y2＝－12x或x2＝－y

C．y2＝12x或x2＝y

D．y2＝－12x或x2＝y

D　解析：设抛物线方程为y2＝2mx，则62＝2m·(－)，m＝－6，

方程为y2＝－12x，

或设方程为x2＝2ny，则(－)2＝2n×6，n＝，方程为x2＝y．

所以抛物线方程为y2＝－12x或x2＝y．故选D．

2．(2022·天心区校级模拟)M(4，t)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，若点M到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是(　　)

A．x＝－2 

B．x＝－1

C．y＝－2 

D．y＝－1

A　解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，

其上一点M(4，t)到抛物线的焦点距离为6，则由抛物线的定义可得4－＝6，

解得－＝－2，即抛物线的准线方程为x＝－2．故选A．

3．已知抛物线y2＝2px 的焦点与双曲线－y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为________；准线方程为________．

(2,0)　x＝－2　解析：由题可知：双曲线－y2＝1的右顶点坐标为(2,0)，

所以可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2．

考点2　抛物线的定义及其应用——综合性

(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)

A．直线   B．椭圆 

C．双曲线   D．抛物线

D　解析：设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线．故选D．

(2)已知M是抛物线x2 ＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

B　解析：设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)．过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值．由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3．故选B．

将本例(2)的条件变为：点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x＋3的垂线，垂足分别为G，H，试求|PG|＋|PH|的最小值．

解：由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1,0)，由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|，所以|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|≥|FH|＝＝2，当且仅当H，P，F三点共线时取等号，所以|PG|＋|PH|的最小值为2．

1．已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)

A．2   B．3 

C．6   D．9

C　解析：A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9．因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有9＋＝12⇒p＝6．故选C．

2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF的周长取最小值时，线段PF的长为(　　)

A．1   B． 

C．5   D．

B　解析：求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，此时P，且|PF|＝＋1＝．故选B．

考点3　抛物线的几何性质——应用性

考向1　范围问题

已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点(点A在第一象限，点B在第四象限)，与x轴交于点M(m,0)．若线段AB的中点的横坐标为3，则m的取值范围是(　　)

A．(0,3]   B．(－∞，3] 

C．(0,6]   D．(1,6]

A　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为x＝ty＋m(m＞0)．

联立消去x，得y2－4ty－4m＝0，Δ＝(－4t)2＋4×4m>0，所以y1＋y2＝4t．

所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2m＝4t2＋2m．

因为线段AB中点的横坐标为3，所以x1＋x2＝6，

故m＝3－2t2≤3．又m＞0，所以m的取值范围(0,3]．故选A．

考向2　弦长问题

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)

A．4   B． 

C．5   D．6

B　解析：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4>0，得xA·xB＝1．①

因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1．②

由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．

1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0,2)   B．[0,2]

C．(2，＋∞)   D．[2，＋∞)

C　解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0,2)，准线方程y＝－2．由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2．因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0,2)到准线y＝－2的距离为4．所以4＜y0＋2，从而y0＞2．

2．(2021·日照模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与x轴交于C(2p,0)．若|AB|＝17，则△OCF的面积为________．

32　解析：因为直线l过点f ，C(2p,0)，

所以kFC＝＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋．

联立直线l与抛物线方程可得x2＋x－p2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝＋4p2>0，

由根与系数的关系可得，x1＋x2＝－，x1·x2＝－p2，

由弦长公式可得|AB|＝|x1－x2|＝＝＝＝17，

所以p＝8，所以S△OCF＝·OC·OF＝·2p·＝32．