高考数学一轮复习第8章第8节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系

考试要求：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．

2．了解椭圆、双曲线和抛物线的简单应用．

第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．

2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|

＝

＝|y1－y2|

＝．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．                             (　√　)

(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．                            (　×　)

(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．                             (　×　)

(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．                             (　√　)

2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)

A．相交   B．相切

C．相离   D．不确定

A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)．又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

3．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)

A．1   B．2 

C．1或2   D．0

A　解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)

A．   B． 

C．5   D．

D　解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2．因为p＝2，所以|AB|＝2＋＝．

5．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)

A．1条   B．2条 

C．3条   D．4条

C　解析：过(0,1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．

考点1　直线与圆锥曲线的位置关系——基础性

1．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C．(－3,0)

D．(－2,0)

A　解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t．将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3．故选A．

2．(2021·武汉调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　　)

A．   B．

C．   D．

D　解析：方法一：联立直线与双曲线的方程，得消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意知k≠±1．设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以即

整理得整理1<k<，所以实数k的取值范围是．故选D．

方法二：因为直线y＝kx－1恒过定点(0，－1)，双曲线x2－y2＝4的渐近线方程为y＝±x，

要使直线y＝kx－1与双曲线的右支有两个交点，则需k>1．

当直线y＝kx－1与双曲线的右支相切时，方程kx－1＝，即(1－k2)x2＋2kx－5＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(2k)2＋20(1－k2)＝0，得k＝(负值舍去)，要使直线y＝kx－1与双曲线的右支有两个交点，则需k<．

综上，实数k的取值范围是．故选D．

考点2　弦长问题——综合性

(2021·北京海淀区模拟)已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋y－2＝0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)当S△OPQ＝2时，求椭圆C的方程；

(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|＝λ|BQ|，求实数λ的值．

解：(1)a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e2＝＝，故e＝．

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2≠0，将x＋y－2＝0代入椭圆C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m＝0．依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m)＞0得m＞1，且有

所以|PQ|＝|x1－x2|＝·＝．

原点到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×·×＝2，

解得m＝＞1，故椭圆方程为＋＝1．

(3)直线l的垂线为ON：y＝x，

由解得交点N(1,1)．

因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，

所以λ＝＝＝＝1，

故λ的值为1．

(2022·济南模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)上一点M(4，y0)到焦点F的距离为5．

(1)求抛物线E的方程；

(2)直线l与圆C：x2＋y2－4x＝0相切且与抛物线E相交于A，B两点，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程．

解：(1)由抛物线的定义知4＋＝5，所以p＝2，

因此，抛物线E的方程为y2＝4x．

(2)由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为x＝my＋n．

因为直线l与圆C相切，又圆C的圆心为(2,0)，半径为2，

所以＝2，所以4m2＝n2－4n．

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去x得y2－4my－4n＝0，

Δ＝(－4m)2＋16n＝16m2＋16n>0．

由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．

则|AB|＝·|y1－y2|

＝·

＝·＝4·．

又原点O到直线l的距离为d＝，

所以S△AOB＝|AB|·d＝×4··＝2，

所以2＝4，所以(m2＋n)n2＝4．

又4m2＝n2－4n，解得n＝±2．

当n＝2时，m2＝－1不成立；

当n＝－2时，m2＝3，所以m＝±．

经检验，所求直线方程为x＝±y－2，

即x±y＋2＝0．

考点3　中点弦问题——应用性

考向1　由中点确定直线方程

已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x－1  　　 B．y＝－2x＋5

C．y＝－x＋3  　　 D．y＝2x－3

D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)．由题可知x1≠x2．所以＝＝＝2，即kAB＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3．故选D．

考向2　由中点确定曲线方程或参数的值

已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点O和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)

A．－  　　 B．－

C．－  　　 D．－

A　解析：由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，所以－×(－1)＝－，

所以＝－．故选A．

本例的条件不变，试求双曲线的离心率．

解：因为a>0，b<0，所以双曲线的焦点在x轴上，

标准方程为－＝1，所以e＝＝＝＝＝．

1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2,1)，则直线l的斜率为(　　)

A．   B． 

C．   D．1

C　解析：由e＝＝，得＝＝，

所以a2＝4b2，则椭圆方程为x2＋4y2＝4b2．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，

把A，B的坐标代入椭圆方程得，

①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)，所以＝－＝－＝．

所以直线l的斜率为．

2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，倾斜角为的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为2，则p的值为(　　)

A．   B．1 

C．2   D．4

C　解析：方法一：根据题意，设直线AB的方程为x＝y＋m，

由得y2－2py－2pm＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝(－2p)2－4×(－2pm)＝12p2＋8pm>0，y1＋y2＝2p，

所以＝p＝2，解得p＝2．故选C．

方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，且＝tan ＝，由

得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，由题意知x1≠x2，所以(y1＋y2)·＝2p，即4×＝2p，得p＝2．故选C．