高考数学一轮复习第10章第3节随机事件与概率学案

这是一份高考数学一轮复习第10章第3节随机事件与概率学案，共13页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　随机事件与概率
考试要求：1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
2．了解概率的意义及频率与概率的区别．
3．了解两个互斥事件的概率加法公式．

一、教材概念·结论·性质重现
1．确定试验的样本空间
(1)样本点和样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．
(2)有限样本空间
如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．事件类型的判断
(1)随机事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(3)不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．
3．事件的关系
(1)互斥(互不相容)
定义
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义
A与B不能同时发生
符号表示
A∩B＝∅
图形表示

(2)互为对立
定义
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为
含义
A与B有且仅有一个发生
符号表示
A∩B＝∅，A∪B＝Ω
图形表示

4．事件的运算
(1)包含关系
定义
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义
A发生导致B发生
符号表示
B⊇A(或A⊆B)
图形表示

特殊情形
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B
(2)并事件(和事件)
定义
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义
A与B至少一个发生
符号表示
A∪B(或A＋B)
图形表示

(3)交事件(积事件)
定义
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义
A与B同时发生
符号表示
A∩B(或AB)
图形表示



互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生．
5．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

1．随机事件A，B互斥与对立的区别与联系
当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．
2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)事件发生的频率与概率是相同的． (　×　)
(2)随机事件和随机试验是一回事． (　×　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (　√　)
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．
(　√　)
(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1． (　×　)
(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．
(　√　)
2．(2021·莆田期末)一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球．下列事件为不可能事件的是(　　)
A．3个都是白球
B．3个都是红球
C．至少1个红球
D．至多2个白球
A　解析：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不可能事情，故A选项正确．摸出的3个球都是红球是随机事件，故B选项错误．摸出的球至少一个红球是必然事件，故C选项错误．摸出的球至多2个白球是必然事件，故D选项错误．故选A．
3．(2022·烟台期末)抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，观察朝上一面的点数，设事件A＝“点数为奇数”，B＝“点数为4”，则A与B的关系为(　　)
A．互斥 B．相等
C．互为对立 D．相互独立
A　解析：事件A与B不可能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥事件．
4．(多选题)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件M＝“取出的两球同色”，N＝“取出的两球中至少有一个黄球”，S＝“取出的两球至少有一个白球”，T＝“取出的两球不同色”，H＝“取出的两球中至多有一个白球”则(　　)
A．M与T互为对立 B．N与S互斥
C．S与H互斥 D．N与H不互斥
AD　解析：对于选项A，事件M＝“取出的两球同色”，T＝“取出的两球不同色”，显然不可能同时发生，且也不可能都不发生，所以M和T是对立事件．故选项A正确．对于选项B，如果“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和S同时发生，所以N和S不是互斥事件，故B选项错误．对于选项C，如果“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则S和H同时发生，所以S和H不是互斥事件，故C选项错误．对于选项D，如果“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和H同时发生，所以N和H不是互斥事件，故D选项正确．
5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为_________．
0．45　解析：落在[10,40)的频率为＝0.45．
6．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．
　解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率．因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为．


考点1　随机事件的关系——基础性

(1)(多选题)(2021·枣庄期末)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则(　　)
A．R1⊆R　　　　 B．R∩G＝∅
C．R∪G＝M D．M＝
BCD　解析：由题意知，R＝“两次都摸到红球”，R1＝“第一次摸到红球”，所以R⊆R1，故选项A错误．
因为R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，所以R∩G＝∅，故选项B正确．
因为R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，故R或G表示摸的两个球的颜色相同，所以R∪G＝M，故选项C正确．
因为M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，由对立事件的定义可知，M＝，故选项D正确．
(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是(　　)
A．既不互斥也不对立 　
B．既互斥又对立
C．互斥但不对立 　
D．对立
C　解析：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，
所以事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是互斥但不对立．
故选C．

判断互斥事件、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

1．同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”
B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”
C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”
D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”
C　解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件．在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件．在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件．在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件．故选C．
2．口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
①④　解析：显然A与D是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝，P(C)＝，⑤不正确．

考点2　随机事件的频率与概率——基础性

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率p＝＝0.44．
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5．
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1．
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9．
因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2．

1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．

1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为(　　)
A．49　　B．0.5　　C．0.51　　D．0.49
C　解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51．
2．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35～50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　)
A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%
B．该校教职工具有研究生学历的概率超过50%
C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
D　解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝＝＝62.5%>60%，故A错误．对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p＝＝＝37.5%