高考数学一轮复习第2章思维深化微课堂活用函数性质中的三个“二级结论”学案

这是一份高考数学一轮复习第2章思维深化微课堂活用函数性质中的三个“二级结论”学案，共3页。
类型一　奇函数的最值性质设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．[思维架桥]　先对函数f(x)的解析式进行变形，得到f(x)＝1＋g(x)，其中g(x)是奇函数，且g(x)min＋g(x)max＝0，那么f(x)min＋f(x)max＝1＋g(x)min＋1＋g(x)max＝2，可得结果．2　解析：显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝ ＝－g(x)．∴g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0．类型二　抽象函数的周期性已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝(　　)A．3　　 B．2C．1　 D．0[思维架桥]　由f(x＋3)＝－f(x)，得f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6．再通过f(x)为奇函数可得f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋f(2 024)＝－f(1)＋f(2)，得到答案．C　解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 023)＝－f(2 023)．因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3．故f(－2  023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1．(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a．(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a．(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a．类型三　抽象函数的对称性函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1,0]恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．[－3,1]B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．[－4,2]D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)[思维架桥]　由f(x＋1)是偶函数，得到f(x＋1)＝f(－x＋1)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合已知条件，得到函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．再分m＋2≤1和m＋2>1进行讨论即可得到答案．A　解析：因为y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1．又因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在(－∞，1)上单调递增．当x∈[－1,0]时，－2≤x－1≤－1，因为不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1,0]恒成立，所以f(m＋2)≥f(－1)．又f(－1)＝f(3)，所以－1≤m＋2≤3，解得－3≤m≤1．故选A．已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．