高考数学一轮复习第2章思维深化微课堂嵌套函数的零点问题学案

高考中针对函数零点的个数或范围这一知识点，常考查分段函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点问题，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．

类型一　嵌套函数的零点个数判断

已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是_________．

[思维架桥]　先解方程2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，再画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与直线y＝和y＝1的交点个数和就是函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数．

5　解析：由题知直线y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，直线y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．

类型二　嵌套函数零点问题中的参数

已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)∪(2，＋∞)　　　　 

B．

C． 

D．(1，e)

[思维架桥]　利用导数得到函数f(x)的单调性和最值，即可画出大致图象．令t＝f(x)，得到方程t2＋mt＋m－1＝0的根，然后分情况讨论，可得m的范围．

C　解析：因为f′(x)＝＝，

所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝，

且当x→－∞时f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，且f(x)>0，由此可作出函数f(x)的简图，如图所示．

令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1，由题意与图可知函数g(t)＝t2＋mt＋m－1有一个零点必在内，另一个零点必或在(－∞，0]内．

当g(t)的一个零点为，另一个零点在内时，

此不等式组无解；

当g(t)的一个零点在(－∞，0]内，另一个零点在内时，

或解得1－<m<1．故选C．

函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

[思维架桥]　令t＝f(x)，则a＝f(t)．画出函数y＝a和y＝f(t)的图象．由图知a≥－1时，函数y＝a和y＝f(t)的图象有两个交点，设交点坐标为t1，t2，然后根据t1，t2的范围判断t1＝f(x)，t2＝f(x)的解的个数．由此可得a的范围．

[－1，＋∞)　解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．

设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1．

当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．