高考数学一轮复习第5章思维深化微课堂平面向量与“四心”学案

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(1)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)A．重心，外心，垂心   B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心   D．外心，重心，内心(2)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心．若＝x＋y，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)A．   B．  C．4    D．6[思维架桥]　(1)△ABC的外心O1满足O1A＝O1B＝O1C；△ABC的重心O2满足＋＋＝0；△ABC的垂心O3满足O3A⊥BC，O3B⊥AC，O3C⊥AB．结合条件可得答案．(2)分析可知动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC内，利用余弦定理可求a＝7．由bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝(其中r为△ABC的内切圆的半径)，可得△BOC的面积，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积可求．(1)C　(2)B　解析：(1)由 ||＝||＝||知，O为△ABC的外心；由 ＋＋＝0知，N为△ABC的重心；因为  ·＝·，所以(－)·＝0，所以 ·＝0，所以 ⊥，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选C．(2)根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos  A，得a＝7．设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得 r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝，故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝，故选B．三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC中，若||＝||＝||或2＝2＝2，则点O是△ABC的外心．(2)在△ABC中，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心．(3)已知O，P为△ABC所在平面内的任意两点，若－＝λ，λ∈(0，＋∞)，则直线AP过△ABC的重心．(4)在△ABC中，若·＝·＝·，则点O为△ABC的垂心．(5)在△ABC中，若||·＋||·＋||·＝0，则点O为△ABC的内心．(6)已知O，P为△ABC所在平面内的任意两点，若＝＋λ(λ>0)，则直线AP过△ABC的内心．[应用体验]1．已知O是平面内的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．内心   B．外心  C．重心   D．垂心C　解析：由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C．2．在△ABC中，||＝3，||＝2，＝＋，则直线AD通过△ABC的(　　)A．重心   B．外心  C．垂心   D．内心D　解析：因为||＝3，||＝2，所以||＝||＝．设＝，＝，则||＝||．因为＝＋＝＋，所以AD平分∠EAF，所以AD平分∠BAC，所以直线AD通过△ABC的内心．