高考数学一轮复习第8章思维深化微课堂抛物线的重要结论学案

设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A．　　　　　　 B．

C．　　   D．

[思维架桥]　思路一：易求直线AB的方程，与抛物线方程联立，可得yA＋yB＝3，yAyB＝－，再求|yA－yB|，利用S△OAB＝|OF||yA－yB|即得面积．

思路二：利用结论|AB|＝求出AB，再利用点O到直线AB的距离公式d＝|OF|·sin 30°求得△OAB的高，易得答案．

方法一　D　解析：由y2＝3x，得2p＝3，p＝，所以F．所以过点A，B的直线方程为y＝，即x＝y＋，联立得4y2－12y－9＝0．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝3，yAyB＝－，所以S△OAB＝S△OAF＋S△OFB＝×|yA－yB|

＝

＝

＝．

方法二

D　解析：由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．又原点到直线AB的距离d＝|OF|sin 30°＝，故S△OAB＝×|AB|d＝×12×＝．

如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若F是AC的中点，且|AF|＝4，求线段AB的长．

[思维架桥]　思路一：利用抛物线的定义和中位线定理可求得p＝2，即得抛物线的方程．再求出点A的坐标，即得直线AF的斜率及方程，与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式得AB的长．

思路二：先求抛物线的方程和点A的横坐标，利用x1x2＝求得x2，可求|AB|．

思路三：先求得|AF|＝4，利用＋＝，可求|BF|，即得|AB|．

解：(方法一)如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D．由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4．因为F是AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)．又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)．代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．

(方法二)前面同一般解法，求得抛物线的方程为y2＝4x．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3．又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．

(方法三)因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．