高考数学一轮复习第10章思维深化微课堂数学文化与概率学案

类型一　以古代文化为载体

十二生肖是十二地支的形象化代表，即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪)，每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相．现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回)，则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

[思维架桥]　易求样本点总数和满足要求的样本点数，只需要利用古典概型的概率公式即可求得答案．

B　解析：小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12×11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概率p＝＝．故选B．

[应用体验]

(2021·福建模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳．因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭、投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为，四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

A　解析：根据题意，分2种情况讨论：

①乙的第三支箭投中壶口，第四支箭必须投中壶耳，其概率p1＝×＝，

②乙的第三支箭投中壶耳，第四支箭投中壶口、壶耳均可，其概率p2＝×＝，

则乙获胜的概率p＝p1＋p2＝＋＝．

类型二　以数学著作为载体

意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，这就是著名的斐波那契数项，它的递推公式是an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，其中，a1＝1，a2＝1．若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

[思维架桥]　易知每三个数中有一个偶数，所以前120项中有40个偶数，易得答案．

A　解析：因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，所以前120项中偶数有40项，所以这个数是偶数的概率为＝．

[应用体验]

(2021·芜湖模拟)如果两个正整数a和b，a的所有真因数(即不是自身的因数)之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a和b是一对“亲和数”．约2 500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、费马、欧拉等．1774年，欧拉向全世界宣布找到30对亲和数，并以为2 620和2 924是最小的第二对亲和数，可到了1867年，意大利的16岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉的疏漏——在284和2 620之间还有一对较小的亲和数1 184和1 210．我们知道220的所有真因数之和为：1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284,284的所有真因数之和为：1＋2＋4＋71＋142＝220，若从284的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：基本事件总数n＝5，

随机抽取一个数，则该数为奇数包含的基本事件个数m＝2，

则随机抽取一个数，则该数为奇数的概率p＝＝．故选B．

类型三　以新时代气息为背景

李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”“草根创业”的浪潮，形成“万众创新”“人人创新”的新势态．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工．若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺该节假日能正常开业的概率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

[思维架桥]　4名员工都休假的概率为C，3名员工休假的概率为C×，利用对立事件的概率公式可求两家店铺都能正常开业的概率．

D　解析：设两家店铺都不能正常营业为事件A，有四个人休假的概率为＝，有三个人休假的概率为C＝，所以两家店铺都不能正常营业的概率为P(A)＝＋＝，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为1－P(A)＝．故选D．

[应用体验]

某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n．已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，则m＋n＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

C　解析：因为新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，

由题意得解得mn＝，m＋n＝．