2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，该几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板的顶点，若，，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  正比例函数的图象上有一点到轴的距离与到轴的距离之比为，且随的增大而减小，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在中，平分，，垂足为，过点作，交于，若，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，一次函数与线段有交点，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，于点，若，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形中，，点为的中点，点为边上一点，，将线段绕点顺时针旋转得到，点恰好在线段上，过作直线于点，交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数当时，，且二次函数图象经过两点，则，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法判断

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如图，正六边形的对角线与其边的比值为______ ．

13.  如图，点，是反比例函数图象上两点，连接经过点，过作垂直于轴于点，过作垂直于轴于，，交于点，若四边形的周长为，则线段的长为______ ．

14.  如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形，若，，那么线段与的比值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
如图，已知点是直线外一点，点是直线上一点，请用尺规作，使得过点且与直线相切于点要求：尺规保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑．

18.  本小题分
如图，正方形中，点在对角线上不与、重合，于点，于点，连接，求证．

19.  本小题分
期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末数学成绩情况，决定对该年级学生期末考试数学考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有个班，每班名学生请按要求回答下列问题：
收集数据：
若要从全年级学生中抽取一个人的样本，你认为以下抽样方法最合理的是______ 只填写序号
随机抽取两个班级的名学生；
在全年级学生中随机抽取名学生；
全年级个班中分别各随机抽取名学生；
从全年级学生中随机抽取名男生．
整理数据：
将抽取的名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图不完整如下，根据图表中数据填空：
类成绩的频数为______ ，类部分的圆心角度数为______ ；
估计全年级、类学生大约一共有多少名？

分析数据：
第一中学为了解学校教学情况，将第二中学九年级的抽样数据和本校进行对比，得表：

你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请任选一个角度来解释你的观点．

20.  本小题分
小华去太华路小学参加中考体育测试时发现，太华路小学的路灯照明是依靠太阳能光板供给的，如图所示，路灯立柱长米，支架的长为米，支点到立柱顶端的距离为米，支架与立柱的夹角，支架与光板垂直，太阳能光板长为米，点是的中点，求太阳能光板最低点离地面的高度结果保留根号，

21.  本小题分
甲、乙两人用扑克牌玩“点”游戏，游戏规则如下：
将牌面数字作为点数，如红桃的点数就是牌面点数与牌的花色无关；
每人摸次，每次摸一张不放回，将所摸的两张牌的点数相加，若点数之和小于或等于，此时点数就是最终点数；若点数之和大于，则最终点数是；
游戏结束前双方均不知道对方点数；
判定游戏结果的依据是：最终点数大的一方获胜，最终点数相等时不分胜负现在甲已经摸出了两张牌，且这两张牌的数字之和是，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是、、、，如图所示．
若乙从桌面上随机摸出一张扑克牌，点数为的概率是多少？
根据题意和游戏规则，甲乙双方谁获胜的可能大？
 

22.  本小题分
每年月，西安郊区的樱桃大量成熟，某樱桃种植户对樱桃的销售价格规定如下：一次购买千克以下含千克樱桃，单价为元千克；一次购买千克以上，超过千克部分的樱桃价格打七五折，小华对购买量千克和付款金额元这两个变量的对应关系做了分析，绘制了如图所示的函数图象请你根据图象回答下列问题．
求与的函数关系式：
已知小华将元钱全部用于购买樱桃，小丽购买了千克樱桃，如果他们两个人合起来购买，可以比分开购买多买多少千克樱桃？

23.  本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，平分．
求证：．
若，，求的长．

24.  本小题分
已知抛物线过点、、．
求该抛物线的表达式．
抛物线的对称轴与轴交于点，将该抛物线沿直线翻折得抛物线，在抛物线第四象限的图象上是否存在一点，使的是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的的解析式；若不能，请说明理由．

25.  本小题分
圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
已知：如图，，请利用圆规画出过、三点的圆若，则 ______ ．
如图，中，，，．
已知，如图点为边的中点，将沿方向平移个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．
如图，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、，属于无理数，故本选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，在靠近右侧和靠近中间分别有条竖直的直线，即看到的图形为
．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形求解即可．
本题主要考查了判断简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
依据三角形外角性质，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数图象上的点随的增大而减小，
，
函数图象上点到轴的距离与到轴的距离之比为，
，即，
故选：．
根据“函数图象上的点随的增大而减小”，得，根据“函数图象上点到轴的距离与到轴的距离之比为”，得，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上的坐标特征，正比例函数的性质，正确掌握正比例函数的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
求出，推出，求出，推出，求出，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出．
 

7.【答案】 

【解析】解：把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
若直线与线段有交点，则，
所以的值不可能是．
故选：．
当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点；当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到，当时，直线与线段有交点，从而能得到正确选项．
本题考查了一次函数的性质：当时，图象必过第一、三象限，越大直线越靠近轴；当时，图象必过第二、四象限，越小直线越靠近轴．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，于，连接．

，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，，
在中，，，
，，
，，
，，
，，
，
．
故选：．
如图，过点作于，于，连接解直角三角形求出，即可解决问题．
本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，则，设．
，，为边的中点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
的长是，
故选：．
设过点作，则，易证得≌，得出，，进而得出，然后通过证得∽，得到，即，解方程即可求得．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，
对称轴为直线，
当时，，
，
，
抛物线开口向下，
而点到直线的距离小于点到直线的距离小，
．
故选：．
先求出抛物线的对称轴为直线，然后根据当时，得出，得到抛物线开口向下，通过比较点、到直线的距离的大小确定、的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：六边形是正六边形，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
先由正六边形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得，则，，然后由含角的直角三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，则，
，，
四边形的周长为，
，
，
点，是反比例函数图象上两点，
，
，，
，，
，
故答案为．
设，则根据反比例函数的对称性得到，即可得到，，根据题意得到，，即可求得、的坐标，根据勾股定理即可求得的长．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，勾股定理的应用等，求得、的坐标是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
同理可得：，
四边形为矩形，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
．
，
，
又，
，
：：．
故答案为：．
依据三个角是直角的四边形是矩形，易证四边形为矩形，那么由折叠可得的长即为的长；再根据的面积即可得到的长，进而得出的长，即可得到线段与的比值．
本题考查的是矩形的性质以及图形的翻折变换，解题过程中应注意翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换．根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、去绝对值分别化简即可得出答案．
本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线，过点作直线交直线于点，以为圆心，为半径作即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：，，
，
四边形是矩形．
．
四边形是正方形，
，．
又，
≌．
．
． 

【解析】先证明四边形是矩形，则，再证明≌，得到．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，证明线段相等时，一般是先找到与两线段相关的两个三角形，然后证明全等即可，有时需要先转化线段再找全等三角形．
 

19.【答案】     

【解析】解：若要从全年级学生中抽取一个人的样本，认为以下抽样方法中比较合理：
在全年级学生中随机抽取名学生；
全年级个班中分别各随机抽取名学生；
都比较片面，
故答案为：；
类成绩的频数为，
类部分的圆心角度数为，
故答案为：、；
估计全年级、类学生大约一共有：
名；
第一中学的教学效果较好，
因为第一中学的平均成绩大、方差小，学生总体成绩波动不大．
根据随机抽样定义即可判断较合理；
根据表格数据可得类和类部分所占样本容量的百分比进而可得圆心角度数；
根据表格数据中、类的频数，即可估计全年级、类学生大约一共的人数；
根据同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，根据平均数和方差的意义可以给出一个解释．
本题考查了用样本估计总体、扇形统计图、平均数、中位数、方差，解决本题的关键是掌握以上知识．
 

20.【答案】解：由题意知，米，米，米，，米．
米．
如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
，，，
，
．
在中，米．
在中，米．
米．
米．
米，
米，
因此，太阳能光板最低点离地面的高度为米． 

【解析】过点作垂直地面于点，于点，过点作于点，过点作于点，通过解和求得的长度，结合图中相关线段间的和差关系求得的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

21.【答案】解：若乙从桌面上随机摸出一张扑克牌，点数为的概率是；
甲乙双方甲获胜的可能大，理由如下：
画树状图如图：

共有个等可能的结果，甲已经摸出了两张牌，且这两张牌的数字之和是，乙获胜的结果有个，
乙获胜的概率为，
甲获胜的可能大． 

【解析】由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，乙获胜的结果有个，由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：由图象可得，
，
当时，，
当时，销售价格为：元千克，
则与的函数关系式为，
即与的函数关系式为；
小华购买的樱桃质量为：千克，
小丽购买樱桃的花费为：元，
如果他们两个人合起来购买，则可以购买的樱桃质量为：千克，
千克，
即如果他们两个人合起来购买，可以比分开购买多买千克樱桃． 

【解析】根据题意和函数图象中的数据，可以写出与的函数关系式：
根据题意，可以分别计算出小华购买的樱桃质量和小丽购买樱桃花费的钱数，然后即可计算出他们两个人合起来购买的樱桃质量，再将合起来购买的樱桃质量与他们单独购买的质量作差，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：连接，
是的切线，
，
即，
又平分，
，
，
，
，
，
；
是的直径，
，
又，
∽，
，
，
在中，，，
，
，
，
． 

【解析】根据切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出，进而得出；
根据相似三角形和锐角三角函数求出，再根据圆内接四边形的性质求出．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质和判定以及锐角三角函数，掌握切线的判定、圆内接四边形的性质以及锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：设抛物线的解析式为，将、、代入，
得，解得，
该抛物线的解析式为．
存在．
如图，作，使，且点在第四象限；作轴于点．

由，得该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为．
抛物线沿直线翻折后得到的抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为．
，
，
又，
≌，
，，
，
点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为． 

【解析】设抛物线的解析式为，将点、、的坐标分别代入，组成方程组，解方程组求出待定系数的值；
将抛物线的解析式化为顶点式，根据轴对称的性质用含的代数式表示翻折后抛物线的顶点坐标及解析式，作出等腰直角三形且使顶点在第四象限，求出点的坐标并代入的解析式求出的值，再写出的解析式．
此题重点考查二次函数的性质、图形的轴对称以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键有两点，一是用含的代数式表示翻折后的顶点坐标，二是正确地作出辅助线并且求出点的坐标；难度适中，综合性较强．
 

25.【答案】 

【解析】以为圆心，为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为．
连接，，如图，
，
中，，，．
，，．
为斜边中点，
，
线段平移到之后，，，
四边形为菱形，
，
，
，且，
四边形为直角梯形，
，
如图所示，

当边沿方向平移个单位至时，
满足且此时四边形的面积最大，
此时直角梯形的最大面积为，
．
利用圆的定义知，，三点共圆，再利用圆周角定理求解．
根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．
因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．
本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．