2023年山东省济南市历城区中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省济南市历城区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积为，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，则下列说法错误的是(    )

A.  B.
C. ≌ D.

10.  在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上若，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  比较大小： ______ 填“”“”或“”．

13.  若是方程的一个根，则此方程的另一个根是______ ．

14.  将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率是______．

15.  我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值，设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，如图所示，当时，，那么当时， ______ 结果精确到，参考数据：
 

16.  如图，在矩形中，，在上取一点，连接、，将沿翻折，使点落在处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上，若点恰好为的中点，则线段的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它的所有正整数解．

19.  本小题分
如图，四边形是菱形，点，分别在，上，求证：．

20.  本小题分
为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试，老师随机抽取名男生和名女生的测试成绩满分作为样本进行整理和分析成绩共分成五组：，，，，，并绘制了不完整的统计图表收集、整理数据：名男生的体能测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；女生体能测试成绩在组和组的分别为：，，，，，，，，．
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

请根据以上信息，回答下列问题：
补全频数分布直方图；
填空： ______ ， ______ ；
女生体能测试扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是______ ；
如果我校八年级有男生名，女生名，请估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数．

21.  本小题分
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋橡点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，，，
求屋顶到横梁的距离；
求房屋的高结果精确到．

 

22.  本小题分
如图，为的直径，为上的一点，连接，作垂直于交于
点，交过点的切线于点．
求证：；
若，求的长．

23.  本小题分
“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”嘉里公馆小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．
求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？
若该小区计划共采购个分类垃圾桶两种都买，且总费用低于元，请列出所有购买方案．

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点是线段上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接、．

求、的值；
在线段上是否存在点，使点到的距离等于它到轴的距离？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；
将沿射线方向平移一定的距离后，得到，如图，在平移过程中，射线与轴交于点，点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标．

25.  本小题分
如图，在中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
当点落在线段上时，
如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______ ， ______ ；
如图，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；
当时，过点作交于点，若，猜想与的数量关系并说明理由．

 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
求该抛物线的解析式，并写出其对称轴直线；
设点是抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，若点恰好落在该抛物线上，求点的坐标；
如图，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】
解：从正面看，从左到右，共有列，每列的小正方形的个数从左到右依次为、、．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
．
故选：．
先根据角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，故A选项不符合题意；
B.因为，故B选项符合题意；
C.因为，故C选项不符合题意；
D.因为，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合；
当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：．
根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，，
，，，所以选项不符合题意；
，，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，，
为直角三角形，
与不全等，所以选项符合题意；
，，
∽，
：：，
，
，
，
而，
，
，所以选项不符合题意．
故选：．
根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；计算出，，而为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对选项进行判断；通过证明∽，利用相似比得到，然后利用可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，，在抛物线上，且，
，
解得，
，
，即．
当时，；
当时，．
的取值范围．
故选：．
根据，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
利用平方法比较大小，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设该方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即该方程的另一个根为．
故答案为：．
设该方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

14.【答案】 

【解析】解：设正六边形边长为，则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为，
飞镖落在白色区域的概率，
故答案为：．
用白色区域的面积除以正六边形的面积即可求得答案．
本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，圆的内接正十五边形被半径分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则，
，
中，，即，
，，
，
又，
，
故答案为：．
圆的内接正十五边形被半径分成顶角为的十五个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得，，进而得到．
本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质可得：，，，，
点恰好为的中点，
，
，
，
，，，
，
负值舍去，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，，由中点性质可得，可得，由勾股定理可求可求的长，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得，，
由得，，
不等式组的解集为．
所有正整数解有：、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌
． 

【解析】连接，由菱形的性质得，再由证≌，即可得出结论．
此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，证得≌是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：名男生的体能测试成绩分的人数为人，
补全直方图如下：

男生成绩的众数，女生成绩的中位数，
故答案为：，；
表示这组数据的扇形圆心角的度数是，
故答案为：；
样本中女生、组人数为名，组人数为人，
女生体能测试成绩不低于分的学生人数为人，
名．
答：估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数为人．
根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数即可补全图形；
根据众数和中位数的概念求解即可；
用乘以的百分比即可；
先求出女生体能测试成绩不低于分的学生人数，再用总人数乘以样本中体能测试成绩不低于分的学生人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
米；
答：屋顶到横梁的距离约为米；
过作于，
设，

在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，
解得：米，
米，
答：房屋的高约为米． 

【解析】根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

22.【答案】证明：连接，
切圆于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质得到，由直角三角形的性质，对顶角的性质，得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质推出，即可得到；
由锐角的正切定义求出的长，由勾股定理得到，即可求出的长．
本题考查切线的性质，余角的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理列出关于的方程．
 

23.【答案】解：设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元．
设该小区购买个种类型的垃圾桶，则购买个种类型的垃圾桶，
依题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，，，
该小区共有种购买方案，
方案：购买个种类型的垃圾桶，个种类型的垃圾桶；
方案：购买个种类型的垃圾桶，个种类型的垃圾桶；
方案：购买个种类型的垃圾桶，个种类型的垃圾桶． 

【解析】设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元，利用数量总价单价，结合用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出购买一个种类型的垃圾桶所需费用，再将其代入中即可求出购买一个种类型的垃圾桶所需费用；
设该小区购买个种类型的垃圾桶，则购买个种类型的垃圾桶，利用总价单价数量，结合总价低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：将点代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的表达式：，
将点代入反比例函数，得，
反比例函数表达式：，
故，；

存在，理由：
点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，
点，点，
，
设点，
点到的距离等于它到轴的距离，
，
解得，
点坐标为；

点，
设直线的解析式：，
代入点，
得，
解得，
直线的解析式：，
根据平移，可得，
设直线的表达式为，
直线的解析式为，
设平移后的点为，则点，
将点坐标代入，
得，
解得，
直线的表达式为：，
当时，，
点，
连接，设直线交轴于点，

在中，由直线的表达式知，，则，
则，
解得：，
则点 

【解析】用待定系数法即可求解；
点到的距离等于它到轴的距离，则，即可求解；
求出点，在中，由直线的表达式知，，则，则，即可求解．
本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 

25.【答案】   

【解析】解：，，
是等边三角形，
，，
将绕着点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
故答案为：；；
如图，，，
，，
将绕着点逆时针旋转，得到，
，，
，，
，，
∽，
，
；
如图，当点在线段上时，

，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，

，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
；
由“”可证≌，可得，，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
将，代入抛物线，
，解得，
抛物线的解析式为：；
其对称轴为直线，即；
设对称轴直线交轴于点，作于，

由旋转的性质可知：，
，，
，
又，
≌，
，，
设点，
当点在轴上方时，有，
则：，
整理得，解得，舍去；
当点在轴下方时，有，
则：，
整理得，解得，舍去；
综上所述，点的坐标为或．
令，解得或，
，
直线的解析式：；
如图，过点作于点，交于点，
设点，，
，
，
当时，的面积有最大值，

作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，

，，
，
大鱼等于，
的最小值为，
，，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式；
设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出≌，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论；
过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可．
本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．