2023年天津市南开区中考数学二模试卷（含解析）

2023年天津市南开区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列三角函数中，结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由若干个小正方体堆成的几何体的主视图正视图，这个几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  方程的两根为，，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是(    )

A. ， B.
C.  D.

10.  如图，▱的顶点坐标分别为、、，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  对折矩形，使和重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根其中正确的结论个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算 ______ ．

14.  计算：的结果等于______ ．

15.  有张背面完全相同的卡片，正面分别标有，，，，，，把这张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为______ ．

16.  直线与轴交于正半轴，则的值可以是______ ．

17.  如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，点，点分别是，的中点，连接，，于点，交于点，，则线段的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆上的点，，及点均在格点上．
的大小为______ 度；
为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，请按下列步骤完成解答：
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．

 

20.  本小题分
某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图和图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图中的的值为______；
求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
若该校八年级学生有人，估计参加社会实践活动时间大于天的学生人数．

21.  本小题分
已知中，直径长为，、分别切于点，，弦．
如图，若，求的大小和弦的长；
如图，过点的切线分别与、的延长线交于点，，且，求弦的长．

22.  本小题分
如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在河北岸处测得对岸处一棵树位于南偏西方向，处一棵树位于南偏东方向，已知两树、相距，求此段河面的宽度结果取整数，参考数据：，，，，，
 

23.  本小题分
某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点，，三地，甲、乙两机器人同时从地匀速出发，甲机器人到达地后装货分钟，再以原速原路返回地，乙机器人到达地后装货分钟，再以原速前往地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距地的距离单位：米与甲机器人所用时间单位：分之间的函数图象如图所示：请结合图象信息解答下列问题：

填空：
、两地之间的距离为______ 米；
甲机器人从出发到返回地，共用时______ 分钟；
甲机器人的速度为______ 米分；
乙机器人的速度为______ 米分；
两机器人在第______ 分时相距米；
写出乙机器人行驶的全过程中与的函数关系式．

24.  本小题分
四边形在平面直角坐标系中，已知点，、两点分别在轴、轴正半轴上，且．

如图，求点和点的坐标；
如图，点为线段上一点不包括、，把线段绕点顺时针旋转得到线段．
连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
如图，连接，点在的延长线上，且，若点的横坐标等于，请直接写出四边形的面积以及点的坐标．

25.  本小题分
已知抛物线是常数的开口向上且经过点，．
当时，求抛物线的顶点坐标；
若二次函数在时，的最大值为，求的值；
若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的减法，正确去括号是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意．
故选：．
根据特殊锐角三角函数值逐项进行判断即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：小正方体有两排组成，而，，，都有排，故只有符合．
故选：．
根据题意，主视图是由个小正方形组成，利用空间想象力可得出该几何体由层，排小正方形组成，第一排有上下两层，第二排有一层组成．
此题主要考查了由几何体的视图获得几何体的方法．在判断过程中要寻求解答的好思路，不要被几何体的各种可能情况所困绕．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
的值在和之间．
故选：．
先估算出的范围，再得出选项即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据同分母分式加减法的运算法则计算即可．
此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法的运算法则．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上
，，．
．
故选：．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：的两根为，，
；．
故选：．
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
、、，
，
点的坐标为．
故选A．
由四边形是平行四边形，可得，，即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．注意平行四边形的对边平行且相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折叠可知，，
所以，故A选项不符合题意；
由折叠可知，
在中，可得，
，
，
故B选项符合题意；
，，
，故C，选项不符合题意．
故选：．
根据折叠，轴对称的性质，可以得出相等的线段，或倍数线段，进而对每一个选项进行判断即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，折叠轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及折叠的性质是正确判断的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
图象与轴的一个交点在，之间，
图象与轴另一交点在，之间，
时，，
即，
故正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线，
，
，
时，，
故正确，符合题意．
抛物线顶点坐标为，
有两个相等实数根，
，
，
故正确，符合题意．
的最大函数值为，
有两个不相等的实数根，
故错误，不符合题意．
故选：．
根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与轴另一交点坐标在，之间，从而判断由对称轴为直线可得与的关系，将代入函数解析式根据图象可判断，由有两个相等实数根可得，从而判断由函数最大值为可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
先根据平方差公式进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：把这张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张共有种等可能结果，其中卡片上的数是负数的有种结果，
所以把这张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为，
故答案为：．
把这张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张共有种等可能结果，其中卡片上的数是负数的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于正半轴，
，
的值可以为，
故答案为：．
根据函数的图象交于轴的正半轴判断出的符号，进而即可得出的值．
本题考查的是一次函数图象与系数的关系：对于直线，时，时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

17.【答案】 

【解析】解：设，
点、点分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
连接，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
中，由勾股定理得：，
，
解得或舍，
．
故答案为：．
设，根据三角形的中位线定理表示，，可得，证明是等腰直角三角形，则，证明≌，则，，最后利用勾股定理计算的值，可得的长．
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键．
 

18.【答案】  取的中点，连接，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，取格点，连接，，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，线段即为所求 

【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．


如图，线段即为所求；
作法：取的中点，连接，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，取格点，连接，，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，线段即为所求．
通过作图，可以证明≌，可得．
故答案为：取的中点，连接，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，取格点，连接，，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，线段即为所求．
利用勾股定理，可得结论；
取的中点，连接，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，取格点，连接，，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，线段即为所求．
本题考查作图旋转变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
解集在数轴上表示为：

原不等式组的解集为：．
故答案为：；；．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，
，则；
故答案为：，；

在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
则众数是天；
将这组数据从小到达排列，其中处于中间的两个数都是，有，
则这组样本数据的中位数是天；
这组数据的平均数是：天；

根据题意得：
人，
答：估计参加社会实践活动时间大于天的学生人数有人．
根据天的人数和所占的百分比求出抽样调查总人数，用天的人数除以总人数即可求出的值；
根据众数、中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
用八年级的人数乘以参加社会实践活动时间大于天的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：，
，
，
．
切于点，
，
．
为的直径，
，
；
连接，，，如图，
，为的切线，
，，
在和中，
，
≌，
，
同理：．
，为的切线，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，．
，
设，则，
，，
，
．
在中，
，
，
，
．
，．
为的直径，
，
为斜边上的高，
，
，
． 

【解析】利用平行线的性质和圆的切线的性质定理求得的度数，再利用圆周角定理和含角的直角三角形的性质解答即可得出结论；
连接，，，利用切线的性质定理和全等三角形的判定与性质得到，；利用切线的性质定理和平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，则，；设，则，在中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求得值，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

22.【答案】解：如图，作于．

由题意可知：，，
在中，，
在中，，
、相距，
，
米，
答：此段河面的宽度约为米． 

【解析】如图，作于由题意得到：，，解直角三角函数求得，，即可得到，进而即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】        或或 

【解析】解：由函数图象可得：、两地之间的距离为米；
由函数图象可得：甲机器人从出发到返回地，共用时分钟；
甲到达点用时，两地之间的距离为米，则甲机器人的速度为米分；
乙从地到地用时分钟，乙机器人的速度为米分；
当甲机器人到达地前时，由函数图象可得，，
由待定系数法可得：的解析式为：；
的解析式为：，
由两机器人相距米，则：，
解得，
当甲机器人到达地返回，乙机器人从到过程中相距米，
由函数图象可得：，，
由待定系数法可得：，
，，
由待定系数法可得直线的解析式为：，
，
解得：或，
综上，两机器人经过分或分或分相距米．
故答案为：；；；；或或；
由知，当时，；
当时，；
当时，，
综上，乙机器人行驶的全过程中与的函数关系式为．
由图象直接可得；用路程时间即可得出甲的速度即可得出；用路程除以时间即可得出乙的速度即可得出；先用待定系数法求出跟段的解析式，再根据两个机器人相距列出方程，解方程即可得出；
根据即可得出与的函数关系式．
本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：如图，过点作轴于点．

点，
，，
，轴，
，
点的坐标为，．
在与中，
，
≌．
，
点的坐标为．
解：过点作轴于点，过点作，交延长线于点，如图．

由，
得，
解得．
，
，，
．
由旋转的性质，得．
在与中，
，
≌．
，．
．
与之间的函数关系式为，其中．
作轴于点，如图．

点的横坐标为，
．
，
即，
，
，
点的坐标为．
，
设，则，
，，
，
，
，
，
即，
解得，，
点的坐标为，
．
，，
，
．
过点作于点，过点作于点，连接，
则，
，
在与中，
，
≌．
，
，
，
．
，，
．
，
． 

【解析】过点作轴于点，利用等腰三角形三线合一求的长及点的坐标，利用≌求的长及点的坐标．
过点作轴于点，过点作，交延长线于点，先利，求出，再利用与全等得出，进而得的长，即边的高的长度，再表示面积；
作轴于点，利用三角函数或者相似三角形求出点坐标，再计算，的长度，通过证明求得，利用与的比例关系可求出点的坐标；过点作于点，过点作于点，连接，将四边形的面积转化为与的面积之和进行求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数的应用，旋转的性质，坐标系与函数，等腰三角形的三线合一等，解题的关键是画出正确的辅助线．
 

25.【答案】解：抛物线是常数经过点，，，
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；

抛物线是常数的开口向上且经过点，，
，
，
二次函数，，在时，的最大值为，
时，或时，，
或，
解得舍弃或，
；

，，
直线的解析式为，
抛物线抛物线在的范围内仅有一个交点，
即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内只有一个解，
即抛物线在的范围内与轴只有一个交点，

观察图象可知，时，，
，
解得，
．
当方程有等根时，，
，
，
解得或舍弃，
当时，交点的横坐标为，符合题意，
或． 

【解析】把，代入利用待定系数法求得解析式，进一步把解析式化成顶点式即可求得；
由题意，或时，取得最大值，由此构建方程求解即可．
把问题转化为不等式，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式解决，属于中考压轴题．