安徽省五校2023届高三下学期第二次联考数学试卷（含答案）

安徽省五校2023届高三下学期第二次联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则(   )

A. B. C. D.

2、若复数，实数a，b满足，则(   )

A.2 B.4 C.-1 D.-2

3、已知非零向量a，b，c满足，，，，.则向量a与c的夹角(   )

A. B. C. D.

4、左图是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面）。其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如右图所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线(x轴)距离为125m，则点到该抛物线焦点F的距离为(   )

A. B. C. D.

5、已知函数是定义在R上的偶函数，函数是定义在R上的奇函数，且，在上单调递减，则(   )

A. B.

C.  D.

6、若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

7、已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是(   )

A. B.

C. D.

8、若，对于恒有，则的最大值是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知，，，若，则n的可能值为(   )

A.6 B.8 C.11 D.13

10、如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然界中神奇地出现，例如向日葵花絮中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列，斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则(   )

A.

B.

C.

D.

11、如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为.若将正三棱锥绕BD旋转，使得点E，P分别旋转至点A，处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，则(   )

A.

B.

C.多面体的外接球的表面积为

D.点P与点E旋转运动的轨迹长之比为

12、已知，则(   )

A. B. C. D.

三、填空题

13、在某地A，B，C三个县区爆发了流感，这三个地区分别，，的人患了流感.若A，B，C三个县区的人数比为，先从这三个地区中任意选取一个人.这个人患流感的概率为______.

14、如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满)，若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值：________

15、已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆，直线与圆O相交于A，C两点，直线与圆O相交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，则的离心率为______.

16、完美数(Perfectnumber)是一类特殊的自然数，它的所有真因数(除自身之外的正因数)的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为____，_________.

四、解答题

17、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，.

(1)求；

(2)求的面积.

18、已知棱长为2的正方体中E，F分别是棱，的中点.

(1)求多面体的体积；

(2)求直线和平面所成角的正弦值.

19、甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲拋出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第n次抛沙包后，沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.

(1)求证:数列为等比数列，并求出的通项；

(2)求证:当n为偶数时，.

20、为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面划分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据，部分数据如下：

经计算得，，，.

（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程：
（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.设前者与后者的斜率分别为，，比较，的大小关系，并证明.
附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.线性相关系数

21、已知椭圆的左焦点与圆的圆心重合，过右焦点的直线与C交于A，B两点，的周长为8.

（1）求椭圆C的方程

（2）若C上存在M，N两点关于直线对称，且(O为坐标原点)，求k的值.

22、已知正实数，函数，，，为的导函数.

(1)若，求证:；

(2)求证：对任意正实数，有.

参考答案

1、答案：A

解析：，

2、答案：B

解析：法一：，，，，，.

法二：韦达定理:，，，，.

3、答案：C

解析：，，，，，，则，令向量a与c的夹角为，则.

4、答案：A

解析：

5、答案：D

解析：

6、答案：A

解析：直线在y轴上截距之和为零

7、答案：D

解析：

8、答案：B

解析：

由，得，即的几何意义可知，函数的图像什函数，的图象之间，如图所示，要使达到最大，仅需要或，此时.

9、答案：BC

解析：

10、答案：BCD

解析：

11、答案：AD

解析：放置到正方体中解决.

12、答案：AB

解析：法一：通过过原点的直线与三个函数图像交点来解决问题.
法二：通过构造函数、用导数结合函数的性质及进行求解.设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，即.什为，所以.设，，所以当时，为减函数；因为，所以.由可得，所以，故B正确.

设，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，所以，即，设，易知为增函数，由可得，战A正确.因为为单调递减函数，在上.是增函数，在上是减函数，且的图象经过图象的最高点，所以当时，，的大小无法得出.令，则，得，易知在为增函数，所以，所以不成立，同样知不成立，故C、D不正确.

13、答案：0.03

解析：

14、答案：37，38，等[在区间（36，180）内的均可以]

解析：

将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.

15、答案：

解析：，，且，，，，即，令，则，，，双曲线的离心率为.

16、答案：6（或496，8128，33550336等），5280
解析：用枚举法:，的所有真因数的个数为，

17、答案：（1）

（2）

解析：

（1）由知，，为正三角形，，

（2）设，则，由正弦定理:，即，则，中，

距，则，，.

18、答案：（1）

（2）

解析：（1），，，

A，E，F，四点共面，

易知多面体是一个三棱台，

（2）法一：解析法略
法二:如图，分別延长，到H，G点，使，连接BG交FE的延长线于M点，连接AM，作，连接，

，，

，平面，

平面，平面平面，

平面平面，且，

平面ABM，

为直线和平面所成角，

在中，，，

由等面积可知，

在中，，，

.

19、答案：（1）证明见解析，

（2）证明见解析

解析：（1）由题意知:第n次抛沙包后的抛沙包方法数为，第次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，数列为等比数列，由，得

，以上各式相加，可得；

（2）由题意知:第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为，则，当n为偶数时，，，

20、答案：（1）

（2），证明见解析

解析：（1），，，，故回归方程为

（2）x关于y的线性回归方程为，

，

则，r为y与x的相关系数，

，，故，即，下证:，

若，则，即恒成立，代人表格中的一组数据得:，矛盾，故.

21、答案：（1）

（2）存在，

解析：（1）由，得，，的周长为8，，，椭圆C的方程为；

（2）

设线段MN的中点，，，由直线，且，设，则联立得，，，，，，，①，即，

，得，②，联立①②，消去m得，，，，

经验证，满足，.

22、答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1），

，，上单调递增，

要证:

只需证:.即

即证:令，，

在上单调递增故证：，歫

令，，，

，，在上单调递增

存在唯一使，，在上单调递减，在上单调递增，故原不等式成立，即；

（2）由(1)知，在上单调递减，即，由于，且m，n为正实数，不妨令.