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2016年安徽省a10联盟高考数学考前最后一卷（理科）（解析版）
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这是一份2016年安徽省a10联盟高考数学考前最后一卷（理科）（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2016年安徽省A10联盟高考数学考前最后一卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣＞0}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．（0，） C．（，1） D．（，1]
2．已知i是虚数单位，复数z满足z（﹣1+2i）=5i，则复数z的模为（ ）
A． B． C． D．
3．“p∧q为假命题”是“￢p为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知+2+3=，则有（ ）
A． =+ B． =+
C． =﹣﹣ D． =﹣﹣
5．已知各项不为0的等差数列{an}满足a3﹣a72+a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5•b7•b9等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y2=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）在[0，]上单调递增
C．函数f（x）是周期为π的周期函数
D．函数f（x）的值域为[﹣1，]
8．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7
9．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为7，则输入的T的最大值为（ ）
A．339 B．212 C．190 D．108
11．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．84π B．72π C．60π D．48π
12．若函数f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5] B．[2，5] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]∪[5，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．展开式中的常数项是______．
14．已知cosα=，则cos（2α﹣2017π）=______．
15．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若3=，则双曲线C的离心率是______．
16．已知等比数列{an}满足2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，则数列{an}前6项和的最小值为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜3）在[﹣，0]上的最小值为﹣，当把f（x）的图象上所有的点向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，a=5，求△ABC的面积S的最大值．
18．某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，不出现平局，且比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．
（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且甲比乙多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛结束时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AB=2，BC=2，AD=3，平面ABD1与棱CC1交于点P．
（Ⅰ）求证：BP∥AD1；
（Ⅱ）若直线A1P与平面BDP所成角的正弦值为，求AA1的长．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合，抛物线C的准线l与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于D，E两点
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若λ=，写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AD平分∠EAC；
（2）若AD=4，∠EAC=120°，求BC的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0且a+b=1．
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）若+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．
2016年安徽省A10联盟高考数学考前最后一卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣＞0}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．（0，） C．（，1） D．（，1]
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣）＞0，解得：x＜0或x＞，即M=（﹣∞，0）∪（，+∞），
由N中lgx≤0，得到0＜x≤1，即N=（0，1]，
则M∩N=（，1]
故选：C．
2．已知i是虚数单位，复数z满足z（﹣1+2i）=5i，则复数z的模为（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数代数形式的运算法则，求出复数z，再计算z的模长．
【解答】解：∵z（﹣1+2i）=5i，
∴z===2﹣i，
∴|z|==．
故选：B．
3．“p∧q为假命题”是“￢p为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】p∧q为假命题，则p与q都为假命题，￢p是真命题．反之也成立．
【解答】解：∵p∧q为假命题，
∴p与q都为假命题，
∴￢p是真命题．
反之也成立．
∴p∧q为假命题”是“￢p为真命题”的充要条件．
故选：C．
4．已知+2+3=，则有（ ）
A． =+ B． =+
C． =﹣﹣ D． =﹣﹣
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】根据条件及向量数乘、向量减法的几何意义，向量的数乘运算便可得出，从而求出向量便可找出正确选项．
【解答】解： =；
∴．
故选A．
5．已知各项不为0的等差数列{an}满足a3﹣a72+a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5•b7•b9等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知a3﹣a72+a11=0结合等差数列的性质求得a7，得到b7，再由等比数列的性质求得a5•b7•b9 ．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3﹣a72+a11=0，得，
∵an≠0，∴a7=2．
∴b7=a7=2，
在等比数列{bn}中，有b5•b7•b9 =．
故选：D．
6．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y2=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，求出P的坐标，可得△PAF的面积．
【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，设P（x，1），则1=4x，
∴x=，
∴P（，1）．
∴△PAF的面积为=，
故选：C．
7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）在[0，]上单调递增
C．函数f（x）是周期为π的周期函数
D．函数f（x）的值域为[﹣1，]
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】作出y=sinx和y=cosx的图象，然后取这两个图象中靠下方的图象即为该分段函数的图象，利用函数图象即可逐一判断各个选项，从而得解．
【解答】解：作出y=sinx和y=cosx的图象，然后取这两个图象中靠下方的图象即为该分段函数的图象．
对于A，从图象中可以看出，函数f（x）不是偶函数，故错误；
对于B，从图象中可以看出，函数f（x）在[0，]上不单调递增，故错误；
对于C，从图象中可以看出，函数f（x）是周期为2π的周期函数，故错误；
对于D，从图象中可以看出，函数f（x）的值域为[﹣1，]，故正确．
故选：D．
8．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 8045 3661 9597 7424，共12组随机数，
∴所求概率为0.6．
故选：B．
9．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大，此时2x+y=9．
由，解得，即B（4，1），
∵B在直线y=m上，
∴m=1，
故选：A
10．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为7，则输入的T的最大值为（ ）
A．339 B．212 C．190 D．108
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，由题意当S=63时满足条件S＜T，执行循环体，当S=127时，应该不满足条件S＜T，退出循环，输出n的值为7，从而可得T的范围为63＜T≤127，比较各个选项即可得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，n=1，
满足条件S＜T，执行循环体，S=3，n=2
满足条件S＜T，执行循环体，S=7，n=3
满足条件S＜T，执行循环体，S=15，n=4
满足条件S＜T，执行循环体，S=31，n=5
满足条件S＜T，执行循环体，S=63，n=6
满足条件S＜T，执行循环体，S=127，n=7
此时，应该不满足条件S＜T，退出循环，输出n的值为7．
所以：63＜T≤127．
故选：D．
11．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．84π B．72π C．60π D．48π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=6，△ABC中AC=6，取AC中点F，连BF，求出BS=6，可得三棱锥外接球的半径，即可得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形
如图，取AC中点F，连BF，则
在Rt△BCF中，BF=3，CF=3，BC=6．
在Rt△BCS中，CS=6，所以BS=6．
设球心到平面ABC的距离为d，则
因为△ABC的外接圆的半径为2，
所以由勾股定理可得R2=d2+（2）2=（6﹣d）2+（2）2，
所以d=3，该三棱锥外接球的半径R=
所以 三棱锥外接球的表面积是4πR2=84π，
故选：D．
12．若函数f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5] B．[2，5] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]∪[5，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】写出分段函数f（x），然后分别利用导函数在[2，4]上大于等于0求解a的取值范围．
【解答】解：∵在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，
∴f′（x）≥0恒成立
∵f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|=，
当x≥a时，f（x）=（x﹣2）2（x﹣a），f′（x）=（x﹣2）（3x﹣2﹣2a）
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，则3x﹣2﹣2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≤3x﹣2在[2，4]上恒成立，得2a≤4﹣2，解得a≤2，
当x＜a时，f（x）=（x﹣2）2（a﹣x），f′（x）=（x﹣2）（﹣3x+2+2a），
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，则﹣3x+2+2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≥3x﹣2在[2，4]上恒成立，得2a≥3×4﹣2，解得a≥5，
综上，函数f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是a≤2或a≥5．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．展开式中的常数项是 210 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】写出通项公式，令x的系数为0，求出k的值，即可写出常数项．
【解答】解：
令，得k=6，
所以展开式中的常数项是T7=C106（﹣1）6=210
故答案为：210
14．已知cosα=，则cos（2α﹣2017π）= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求的式子的值．
【解答】解：cosα=，则cos（2α﹣2017π）=cos（2α﹣π）=﹣cos2α=﹣2cos2α+1=，
故答案为：．
15．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若3=，则双曲线C的离心率是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设一渐近线OM的方程为y=x，设M（m， m），N（n，﹣），由3=，求得点M的坐标，再由FM⊥OM，斜率之积等于﹣1，求出a2=2b2，代入e==，进行运算即可得到．
【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，
则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，
设M（m，），N（n，﹣），
∵3=，
∴3（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），
∴3（c﹣m）=n﹣c，﹣ =﹣，
∴m=c，n=2c，
∴M（，）．
由FM⊥OM可得，斜率之积等于﹣1，即•=﹣1，
∴a2=2b2，∴e===．
故答案为：．
16．已知等比数列{an}满足2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，则数列{an}前6项和的最小值为 ．
【考点】数列的求和．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．由2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，可得S2=．则数列{an}前6项和=S2（1+q2+q4）=，化简利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．
∵2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，
∴2q2S2=2﹣S2，∴S2=．
则数列{an}前6项和S6=S2（1+q2+q4）==≥=，当且仅当q2=时取等号．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜3）在[﹣，0]上的最小值为﹣，当把f（x）的图象上所有的点向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，a=5，求△ABC的面积S的最大值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用函数的最小值列出方程解得ω，利用平行变换可得解函数g（x）的解析式．
（2）由题意可得函数的零点，可解得A，由余弦定理可得25≥bc，利用三角形的面积公式即可得解．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜3）在[﹣，0]上的最小值为﹣，
∴2sin（﹣ω）=﹣，解得ω=2，
把f（x）的图象上所有的点向右平移个单位后，
得到的函数g（x）=2sin[2（x﹣）]=2sin（2x﹣），
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin（2x﹣）．
（2）∵函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，
∴由2sin（2x﹣）=0，解得2x﹣=kπ，k∈Z，可得：A=+，k∈Z，
令k=0，可得A=．
∵a=5，
∴由余弦定理可得：25=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，
∴S△ABC=bcsinA≤×25×=．
故△ABC的面积S的最大值为：．
18．某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，不出现平局，且比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．
（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且甲比乙多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛结束时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分，即头两局乙胜一局，3、4局连胜，利用相互独立性概率公式，可得结论；
（2）随机变量ξ可能的取值为2，4，6，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）比赛进行4局结束，且甲比乙多得2分，即头两局甲胜一局，3、4局连胜，
则所求概率为P==．
（2）由题意，ξ的取值为2，4，6，则
P（ξ=2）=（）2+（）2=，
P（ξ=4）=（）（）（）2+（）（）（）2=，
P（ξ=6）=•=，
∴ξ的分布列
ξ
2
4
6
P
数学期望Eξ=2×++=．
19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AB=2，BC=2，AD=3，平面ABD1与棱CC1交于点P．
（Ⅰ）求证：BP∥AD1；
（Ⅱ）若直线A1P与平面BDP所成角的正弦值为，求AA1的长．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）由BC∥AD，CC1∥DD1，可得平面BCC1B1∥平面ADD1A1，根据面面平行的性质得出BP∥AD1．
（II）以A为原点建立空间坐标系，设AA1=h，求出和平面BDP的法向量，令|cos＜＞|=解出h．
【解答】证明：（I）∵∠ABC=∠DAB=，
∴BC∥AD，
又CC1∥DD1，BC∩CC1=C，AD∩DD1=D，
∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
∵平面ABPD1∩平面BCC1B1=BP，平面ABPD1∩平面ADD1A1=AD1，
∴BP∥AD1．
（II）以A为原点，AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系，
设AA1=h，则A1（0，0，h），B（2，0，0），P（2，2，），D（0，3，0），
∴=（2，2，﹣），=（﹣2，3，0），=（0，2，），
设平面BDP的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令z=3得=（﹣，﹣h，3）．
∴cos＜＞==．
∴||=，
解得h=6或h=．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合，抛物线C的准线l与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于D，E两点
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若λ=，写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得﹣=﹣1可求p，进而可求抛物线方程．
（Ⅱ）设l1方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），由，整理可得关于y的方程，结合△=16﹣16k2＞0，可求k的范围，然后结合方程的根与系数关系可求y1+y2，y1y2，代入可求x1+x2，x1x2及P，从而可求|MA||MB|及直线PF的方程，由得关于y的方程，同理可求y3+y4，y3y4，代入直线方程得x3+x4，x3x4，可求|FD||FE|，由题设建立等式，则可以由k表示λ，结合函数的单调性可求λ的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合，
∴=1，解得p=2，
∴抛物线方程为y2=4x． …
（Ⅱ）设l1方程为y=k（x+1），A（x1，y1），
B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），
由，得ky2﹣4y+4k=0，
∵△=16﹣16k2＞0，∴k∈（﹣1，0）∪（0，1），
y1+y2=，y1y2=4，
代入方程得：﹣2，x1x2=1，
P（﹣1，），…
∴|MA|•|MB|=
=x1x2+x1+x2+1+y1y2=4（1+），…
且直线PF的方程为y=（x﹣1），
由，得ky2﹣4（1﹣k2）y﹣4k=0，
则，y3y4=﹣4，
代入直线方程得，x3x4=1，
∴|FD|•|FE|=（x3+1）（x4+1）=，…
则，…
令t=k2+1，则t∈（1，2），=，
而=在（1，）单调递增，在（）单调递减，
∴实数λ的取值范围是（ 1，]．…
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；
（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；
再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．
【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；
当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；
当m≤0时，f（x） 的单调递增区间为（0，+∞）； …
（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，
∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；
又∵m≥，
∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1； …
又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，
∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，
两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，
得b=，
而，
∴y=
=]
==，…
令（0＜t＜1），
由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，
因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，
∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…
设G（t）=，
∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，
∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，
即的最小值为﹣+ln2． …
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AD平分∠EAC；
（2）若AD=4，∠EAC=120°，求BC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）推导出∠FBC=∠FCB，∠DAC=∠FBC，由此能证明AD平分∠EAC．
（2）求出∠ACD=∠ACB=90°，∠DAC=，AC=2，由此能求出BC的值．
【解答】证明：（1）∵FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∵四边形AFBC内接于圆O，
∴∠DAC=∠FBC，
又∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠EAC．
解：（2）∵AB是△ABC外接圆直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=，
∴AC=2，
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，
∴BC=2=6．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（II）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．求出圆心C1到公共弦所在的直线的距离d．利用公共弦长=2即可得出．
【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α可得普通方程：（x﹣1）2+y2=4，即x2+y2﹣2x=3．
曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为x2+（y﹣2）2=4．
（II）x2+y2﹣2x=3与x2+y2=4y相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．
圆心C1（1，0）到公共弦所在的直线的距离d==．
∴公共弦长=2=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0且a+b=1．
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）若+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质，利用1的代换求出+的最小值为9；
（Ⅱ）根据不等式恒成立，结合分类讨论进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴+=（a+b）（+）=5++≥9，
故+的最小值为9，
（Ⅱ）∵对 于a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
∴|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，
若x≥，则不等式等价为2x﹣1﹣x﹣1≤9，解得：x≤11，
∴≤x≤11；
若﹣1＜x＜，则不等式等价为﹣2x+1﹣x﹣1≤9，解得：x≤3，
∴﹣1＜x＜，
若x≤﹣1，则不等式等价为﹣2x+1+x+1≤9，解得：x≥﹣7，
∴﹣7≤x≤﹣1
综上﹣7≤x≤11．
2016年10月5日
2016年安徽省A10联盟高考数学考前最后一卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣＞0}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．（0，） C．（，1） D．（，1]
2．已知i是虚数单位，复数z满足z（﹣1+2i）=5i，则复数z的模为（ ）
A． B． C． D．
3．“p∧q为假命题”是“￢p为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知+2+3=，则有（ ）
A． =+ B． =+
C． =﹣﹣ D． =﹣﹣
5．已知各项不为0的等差数列{an}满足a3﹣a72+a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5•b7•b9等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y2=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）在[0，]上单调递增
C．函数f（x）是周期为π的周期函数
D．函数f（x）的值域为[﹣1，]
8．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7
9．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为7，则输入的T的最大值为（ ）
A．339 B．212 C．190 D．108
11．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．84π B．72π C．60π D．48π
12．若函数f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5] B．[2，5] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]∪[5，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．展开式中的常数项是______．
14．已知cosα=，则cos（2α﹣2017π）=______．
15．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若3=，则双曲线C的离心率是______．
16．已知等比数列{an}满足2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，则数列{an}前6项和的最小值为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜3）在[﹣，0]上的最小值为﹣，当把f（x）的图象上所有的点向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，a=5，求△ABC的面积S的最大值．
18．某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，不出现平局，且比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．
（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且甲比乙多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛结束时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AB=2，BC=2，AD=3，平面ABD1与棱CC1交于点P．
（Ⅰ）求证：BP∥AD1；
（Ⅱ）若直线A1P与平面BDP所成角的正弦值为，求AA1的长．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合，抛物线C的准线l与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于D，E两点
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若λ=，写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AD平分∠EAC；
（2）若AD=4，∠EAC=120°，求BC的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0且a+b=1．
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）若+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．
2016年安徽省A10联盟高考数学考前最后一卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣＞0}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．（0，） C．（，1） D．（，1]
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣）＞0，解得：x＜0或x＞，即M=（﹣∞，0）∪（，+∞），
由N中lgx≤0，得到0＜x≤1，即N=（0，1]，
则M∩N=（，1]
故选：C．
2．已知i是虚数单位，复数z满足z（﹣1+2i）=5i，则复数z的模为（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数代数形式的运算法则，求出复数z，再计算z的模长．
【解答】解：∵z（﹣1+2i）=5i，
∴z===2﹣i，
∴|z|==．
故选：B．
3．“p∧q为假命题”是“￢p为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】p∧q为假命题，则p与q都为假命题，￢p是真命题．反之也成立．
【解答】解：∵p∧q为假命题，
∴p与q都为假命题，
∴￢p是真命题．
反之也成立．
∴p∧q为假命题”是“￢p为真命题”的充要条件．
故选：C．
4．已知+2+3=，则有（ ）
A． =+ B． =+
C． =﹣﹣ D． =﹣﹣
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】根据条件及向量数乘、向量减法的几何意义，向量的数乘运算便可得出，从而求出向量便可找出正确选项．
【解答】解： =；
∴．
故选A．
5．已知各项不为0的等差数列{an}满足a3﹣a72+a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5•b7•b9等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知a3﹣a72+a11=0结合等差数列的性质求得a7，得到b7，再由等比数列的性质求得a5•b7•b9 ．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3﹣a72+a11=0，得，
∵an≠0，∴a7=2．
∴b7=a7=2，
在等比数列{bn}中，有b5•b7•b9 =．
故选：D．
6．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y2=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，求出P的坐标，可得△PAF的面积．
【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，设P（x，1），则1=4x，
∴x=，
∴P（，1）．
∴△PAF的面积为=，
故选：C．
7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）在[0，]上单调递增
C．函数f（x）是周期为π的周期函数
D．函数f（x）的值域为[﹣1，]
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】作出y=sinx和y=cosx的图象，然后取这两个图象中靠下方的图象即为该分段函数的图象，利用函数图象即可逐一判断各个选项，从而得解．
【解答】解：作出y=sinx和y=cosx的图象，然后取这两个图象中靠下方的图象即为该分段函数的图象．
对于A，从图象中可以看出，函数f（x）不是偶函数，故错误；
对于B，从图象中可以看出，函数f（x）在[0，]上不单调递增，故错误；
对于C，从图象中可以看出，函数f（x）是周期为2π的周期函数，故错误；
对于D，从图象中可以看出，函数f（x）的值域为[﹣1，]，故正确．
故选：D．
8．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 8045 3661 9597 7424，共12组随机数，
∴所求概率为0.6．
故选：B．
9．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大，此时2x+y=9．
由，解得，即B（4，1），
∵B在直线y=m上，
∴m=1，
故选：A
10．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为7，则输入的T的最大值为（ ）
A．339 B．212 C．190 D．108
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，由题意当S=63时满足条件S＜T，执行循环体，当S=127时，应该不满足条件S＜T，退出循环，输出n的值为7，从而可得T的范围为63＜T≤127，比较各个选项即可得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，n=1，
满足条件S＜T，执行循环体，S=3，n=2
满足条件S＜T，执行循环体，S=7，n=3
满足条件S＜T，执行循环体，S=15，n=4
满足条件S＜T，执行循环体，S=31，n=5
满足条件S＜T，执行循环体，S=63，n=6
满足条件S＜T，执行循环体，S=127，n=7
此时，应该不满足条件S＜T，退出循环，输出n的值为7．
所以：63＜T≤127．
故选：D．
11．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．84π B．72π C．60π D．48π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=6，△ABC中AC=6，取AC中点F，连BF，求出BS=6，可得三棱锥外接球的半径，即可得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形
如图，取AC中点F，连BF，则
在Rt△BCF中，BF=3，CF=3，BC=6．
在Rt△BCS中，CS=6，所以BS=6．
设球心到平面ABC的距离为d，则
因为△ABC的外接圆的半径为2，
所以由勾股定理可得R2=d2+（2）2=（6﹣d）2+（2）2，
所以d=3，该三棱锥外接球的半径R=
所以 三棱锥外接球的表面积是4πR2=84π，
故选：D．
12．若函数f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5] B．[2，5] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]∪[5，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】写出分段函数f（x），然后分别利用导函数在[2，4]上大于等于0求解a的取值范围．
【解答】解：∵在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，
∴f′（x）≥0恒成立
∵f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|=，
当x≥a时，f（x）=（x﹣2）2（x﹣a），f′（x）=（x﹣2）（3x﹣2﹣2a）
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，则3x﹣2﹣2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≤3x﹣2在[2，4]上恒成立，得2a≤4﹣2，解得a≤2，
当x＜a时，f（x）=（x﹣2）2（a﹣x），f′（x）=（x﹣2）（﹣3x+2+2a），
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，则﹣3x+2+2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≥3x﹣2在[2，4]上恒成立，得2a≥3×4﹣2，解得a≥5，
综上，函数f（x）=（x﹣2）2|x﹣a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是a≤2或a≥5．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．展开式中的常数项是 210 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】写出通项公式，令x的系数为0，求出k的值，即可写出常数项．
【解答】解：
令，得k=6，
所以展开式中的常数项是T7=C106（﹣1）6=210
故答案为：210
14．已知cosα=，则cos（2α﹣2017π）= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求的式子的值．
【解答】解：cosα=，则cos（2α﹣2017π）=cos（2α﹣π）=﹣cos2α=﹣2cos2α+1=，
故答案为：．
15．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若3=，则双曲线C的离心率是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设一渐近线OM的方程为y=x，设M（m， m），N（n，﹣），由3=，求得点M的坐标，再由FM⊥OM，斜率之积等于﹣1，求出a2=2b2，代入e==，进行运算即可得到．
【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，
则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，
设M（m，），N（n，﹣），
∵3=，
∴3（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），
∴3（c﹣m）=n﹣c，﹣ =﹣，
∴m=c，n=2c，
∴M（，）．
由FM⊥OM可得，斜率之积等于﹣1，即•=﹣1，
∴a2=2b2，∴e===．
故答案为：．
16．已知等比数列{an}满足2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，则数列{an}前6项和的最小值为 ．
【考点】数列的求和．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．由2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，可得S2=．则数列{an}前6项和=S2（1+q2+q4）=，化简利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．
∵2（a3+a4）=2﹣a1﹣a2，
∴2q2S2=2﹣S2，∴S2=．
则数列{an}前6项和S6=S2（1+q2+q4）==≥=，当且仅当q2=时取等号．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜3）在[﹣，0]上的最小值为﹣，当把f（x）的图象上所有的点向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，a=5，求△ABC的面积S的最大值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用函数的最小值列出方程解得ω，利用平行变换可得解函数g（x）的解析式．
（2）由题意可得函数的零点，可解得A，由余弦定理可得25≥bc，利用三角形的面积公式即可得解．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜3）在[﹣，0]上的最小值为﹣，
∴2sin（﹣ω）=﹣，解得ω=2，
把f（x）的图象上所有的点向右平移个单位后，
得到的函数g（x）=2sin[2（x﹣）]=2sin（2x﹣），
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin（2x﹣）．
（2）∵函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，
∴由2sin（2x﹣）=0，解得2x﹣=kπ，k∈Z，可得：A=+，k∈Z，
令k=0，可得A=．
∵a=5，
∴由余弦定理可得：25=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，
∴S△ABC=bcsinA≤×25×=．
故△ABC的面积S的最大值为：．
18．某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，不出现平局，且比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．
（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且甲比乙多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛结束时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分，即头两局乙胜一局，3、4局连胜，利用相互独立性概率公式，可得结论；
（2）随机变量ξ可能的取值为2，4，6，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）比赛进行4局结束，且甲比乙多得2分，即头两局甲胜一局，3、4局连胜，
则所求概率为P==．
（2）由题意，ξ的取值为2，4，6，则
P（ξ=2）=（）2+（）2=，
P（ξ=4）=（）（）（）2+（）（）（）2=，
P（ξ=6）=•=，
∴ξ的分布列
ξ
2
4
6
P
数学期望Eξ=2×++=．
19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AB=2，BC=2，AD=3，平面ABD1与棱CC1交于点P．
（Ⅰ）求证：BP∥AD1；
（Ⅱ）若直线A1P与平面BDP所成角的正弦值为，求AA1的长．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）由BC∥AD，CC1∥DD1，可得平面BCC1B1∥平面ADD1A1，根据面面平行的性质得出BP∥AD1．
（II）以A为原点建立空间坐标系，设AA1=h，求出和平面BDP的法向量，令|cos＜＞|=解出h．
【解答】证明：（I）∵∠ABC=∠DAB=，
∴BC∥AD，
又CC1∥DD1，BC∩CC1=C，AD∩DD1=D，
∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
∵平面ABPD1∩平面BCC1B1=BP，平面ABPD1∩平面ADD1A1=AD1，
∴BP∥AD1．
（II）以A为原点，AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系，
设AA1=h，则A1（0，0，h），B（2，0，0），P（2，2，），D（0，3，0），
∴=（2，2，﹣），=（﹣2，3，0），=（0，2，），
设平面BDP的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令z=3得=（﹣，﹣h，3）．
∴cos＜＞==．
∴||=，
解得h=6或h=．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合，抛物线C的准线l与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于D，E两点
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若λ=，写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得﹣=﹣1可求p，进而可求抛物线方程．
（Ⅱ）设l1方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），由，整理可得关于y的方程，结合△=16﹣16k2＞0，可求k的范围，然后结合方程的根与系数关系可求y1+y2，y1y2，代入可求x1+x2，x1x2及P，从而可求|MA||MB|及直线PF的方程，由得关于y的方程，同理可求y3+y4，y3y4，代入直线方程得x3+x4，x3x4，可求|FD||FE|，由题设建立等式，则可以由k表示λ，结合函数的单调性可求λ的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合，
∴=1，解得p=2，
∴抛物线方程为y2=4x． …
（Ⅱ）设l1方程为y=k（x+1），A（x1，y1），
B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），
由，得ky2﹣4y+4k=0，
∵△=16﹣16k2＞0，∴k∈（﹣1，0）∪（0，1），
y1+y2=，y1y2=4，
代入方程得：﹣2，x1x2=1，
P（﹣1，），…
∴|MA|•|MB|=
=x1x2+x1+x2+1+y1y2=4（1+），…
且直线PF的方程为y=（x﹣1），
由，得ky2﹣4（1﹣k2）y﹣4k=0，
则，y3y4=﹣4，
代入直线方程得，x3x4=1，
∴|FD|•|FE|=（x3+1）（x4+1）=，…
则，…
令t=k2+1，则t∈（1，2），=，
而=在（1，）单调递增，在（）单调递减，
∴实数λ的取值范围是（ 1，]．…
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；
（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；
再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．
【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；
当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；
当m≤0时，f（x） 的单调递增区间为（0，+∞）； …
（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，
∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；
又∵m≥，
∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1； …
又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，
∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，
两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，
得b=，
而，
∴y=
=]
==，…
令（0＜t＜1），
由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，
因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，
∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…
设G（t）=，
∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，
∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，
即的最小值为﹣+ln2． …
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AD平分∠EAC；
（2）若AD=4，∠EAC=120°，求BC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）推导出∠FBC=∠FCB，∠DAC=∠FBC，由此能证明AD平分∠EAC．
（2）求出∠ACD=∠ACB=90°，∠DAC=，AC=2，由此能求出BC的值．
【解答】证明：（1）∵FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∵四边形AFBC内接于圆O，
∴∠DAC=∠FBC，
又∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠EAC．
解：（2）∵AB是△ABC外接圆直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=，
∴AC=2，
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，
∴BC=2=6．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（II）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．求出圆心C1到公共弦所在的直线的距离d．利用公共弦长=2即可得出．
【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α可得普通方程：（x﹣1）2+y2=4，即x2+y2﹣2x=3．
曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为x2+（y﹣2）2=4．
（II）x2+y2﹣2x=3与x2+y2=4y相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．
圆心C1（1，0）到公共弦所在的直线的距离d==．
∴公共弦长=2=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0且a+b=1．
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）若+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质，利用1的代换求出+的最小值为9；
（Ⅱ）根据不等式恒成立，结合分类讨论进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴+=（a+b）（+）=5++≥9，
故+的最小值为9，
（Ⅱ）∵对 于a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
∴|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，
若x≥，则不等式等价为2x﹣1﹣x﹣1≤9，解得：x≤11，
∴≤x≤11；
若﹣1＜x＜，则不等式等价为﹣2x+1﹣x﹣1≤9，解得：x≤3，
∴﹣1＜x＜，
若x≤﹣1，则不等式等价为﹣2x+1+x+1≤9，解得：x≥﹣7，
∴﹣7≤x≤﹣1
综上﹣7≤x≤11．
2016年10月5日
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