河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷理数试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.“”是“复数（其中是虚数单位）为纯虚数”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】

试题分析：由题意得，是纯虚数，故是必要不充分条件，故选B.

考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．

2.设全集，函数的定义域为，集合，则的元素个数为（    ）

A．1      B．2      C．3        D．4[来源:学#科#网]

【答案】C.

考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算．[来源:ZXXK]

3.若点在角的终边上，则的值为（     ）

A．         B．           C．       D．

【答案】A.

【解析】

试题分析：根据任意角的三角函数的定义，，故选A.

考点：任意角的三角函数．

4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（    ）

A．，    B．，     C．，    D．，

【答案】B.

考点：1.统计的运用；2.程序框图．

5.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（    ）

A．              B．  

C．            D．

【答案】C.[来源:学,科,网]

【解析】

试题分析：由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.

考点：三角函数的图象和性质．

6.若函数的图象如图所示，则的范围为（    ）

A．       B．        C．      D．

【答案】D.

考点：函数性质的综合运用．

7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（     ）

A．1       B．      C．       D．

【答案】C.

考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．

8.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（    ）

A．    B．   C．   D．

【答案】A.

考点：数列的通项公式．

9.已知非零向量，，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值为（    ）[来源:]

A．随增大而增大     B．随增大而减小        C．是2      D．是4

【答案】D.

【解析】

试题分析：∵，∴，即，∵，

∴，解得，（），故，，

∴，故选D.

考点：平面向量数量积．

10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）

A．         B．         C．      D．

【答案】B.

【解析】

考点：空间几何体的外接球．

【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为，，的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即；2.棱长为的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即；棱长为a的正四面体：外接球的半径为，内切球的半径为；

11.已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．   B．     C．    D．

【答案】C.

【解析】

试题分析：如下图所示，设，∴，，∴，

，又∵，∴，

∴，∴，故选C.

考点：双曲线的标准方程及其性质．

【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如等.

12.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（    ）

A．5个     B．6个     C．7个     D．8个

【答案】A.

当时，方程有两个正根，一个小于的负根，∴有六个根，当时，方程有一个正根一个小于的负根，∴有四个根，∴根的个数可能为，，，，，，故选A.

考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.

【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）

13.已知，展开式的常数项为15，则____________.

【答案】.

考点：定积分的计算及其性质.

14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是__________.

【答案】.

考点：线性规划.

15.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作它的弦，若，则________．

【答案】.

考点：抛物线焦点弦的性质.

【名师点睛】若为抛物线的焦点弦，为抛物线焦点，，两点的坐标分别为

，，则：，，以为直径的圆与抛物线的准线相切，

.

16.已知数列满足，，则_____________.

【答案】.

考点：数列的通项公式.

【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由和递推关系求出前几项，再归纳、猜想的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知且，可以用“累加法”得：，；

2.已知且，可以用“累乘法”得：，.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

如图，在中，已知点在边上，且，，，.

（1）求长；   （2）求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件首先求得的值，再在中，利用余弦定理即可求解；（2）在中利用正弦定理即可求解.

试题解析：（1）∵，则，∴，

即，在中，由余弦定理，可知，

即，解得，或，∵，∴；……6分

（2）在中，由正弦定理，可知.

又由，可知，∴.

∵，∴.…………12分              

考点：正余弦定理解三角形．

18.（本小题满分12分）

已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

在中，，，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

，∴二面角的余弦值为.…………12分

考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解．

19.(本小题满分12分)

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图：

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；

（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有95%以上的

把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

附：临界值表参考公式：.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

的分布列为

；…………8分

（3）解得，，，，，，，

，

∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.…………12分                   

考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.

（1）求点的坐标；

（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.

【答案】（1）；（2）详见解析.

法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．

【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

21.(本小题满分12分)

已知函数，且曲线与轴切于原点.

（1）求实数，的值；

（2）若恒成立，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得，分类讨论，构造函数，求导研究其单调性即可得到，和是方程的两根，从而求解.

考点：导数的综合运用．

【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且.

（1）求证：；

（2）若，，，求的长.

【答案】（1）详见解析；（2）.

考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为.

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）求.

【答案】（1）直线的普通方程是，曲线的普通方程是；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.

【解析】

考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.

（1）求整数的值；

（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解不等式，根据整数解为，即可求解；（2）问题等价于恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.

试题解析：（1）由，即，，

得，∵不等式的整数解为，∴，解得，

又∵不等式仅有一个整数解，∴；…………4分

（2）函数的图象恒在函数的上方，故，

∴对任意恒成立，设，

则，则在区间上是减函数，

考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．