河北省衡水中学2017届高三押题卷III文数试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文科数学（Ⅲ）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题得：所以为

2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】A

【解析】故在复平面内对应的点在第一象限

3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（    ）

A. 1    B.     C. 2    D.

【答案】A

【解析】根据条件：，∴，

∴，故选A.

4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故

5. 已知实数，满足则的最小值为（    ）

A. 0    B.     C.     D.

【答案】D

【解析】作出可行域：所以当取B时目标函数取得最小值-4-1=-5

6. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（    ）

A. 48920    B. 49660    C. 49800    D. 51867

【答案】C

【解析】根据题意：表示不超过的最大整数，且所以该程序运行后输出的结果中是：39个0与40个1,40个2,40 个3，……，40个49，个50的和，所以输出的结果为学.科.网...

7. 数列满足，（），则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以

8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（    ）

A. 2    B. 4    C. 5    D. 6

【答案】B

【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人

9. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（    ）

A. 24，    B. 32，    C. 48，    D. 64，

【答案】C

【解析】有三视图可知该几何体为一个四棱柱：因为它的的直观图时矩形，所以它的俯视图直观图面积为3，所以它的俯视图面积为，它的俯视图是边长为3的菱形，棱柱高为4，所以侧面积为，体积为

10. 已知函数 （）的最小正周期为，且，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，，，则

11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由得，由双曲线的定义可知：，，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为，在中由勾股定理可得：得

点睛：首先要熟悉双曲线的定义，求解离心率主要是建立等式关系，可根据几何关系一般是找勾股定理或代坐标或利用正余弦定理建立等式

12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】作出函数图像：又直线恒过（0，-0.5）当直线经过点A时恰好三个交点此时斜率k=0.5，当直线与lnx相切时为第二个临界位置，设切点为，故切线方程为：过（0，-0.5）得故选D

点睛：本题解题关键是画出函数的草图，然后找到符合题意的临界值求解即可

第Ⅱ卷（共90分）学.科.网...

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．

【答案】

【解析】由正弦定理根据边化角可得：，所以

14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．

【答案】

【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则： 得直线和所成角的余弦值等于

15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题可知：，故==当且仅当x=y时取得等号

16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】作出函数图像可知：当时有三个交点，故实数的取值范围是

点睛：本题关键是画出函数图形，结合图像可得符合题意的范围即从而得出结论

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 在中，角，，的对边分别是，，，且.

（1）求角的大小；

（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.

【答案】（1）.（2） .

【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角： 得从而求出A（2）由，，成等比数列得，然后根据等差数列通项公式和性质可得求出d然后再用裂项相消求和即可

试题解析：

（1）由正弦定理可得 ，从而可得，即.

又为三角形的内角，所以，于是，

又为三角形的内角，所以.

（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，

所以，且，解得，

所以，所以 ，

所以 .

点睛：解三角形问题要注意多结合正弦定理的边角互化原理变形求解即可，对于本题第二问可以得到通项的形式可得求和方法为裂项相消法学.科.网...

18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.

（1）求证：平面；

（2）当时，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（Ⅱ）借助题设条件运用等积法求解。

试题解析：（Ⅰ）连接、，连接。因为四边形是圆的内接矩形，

∴、相交于点，且是的中点。

又∵是的中点，∴

又∵面，面

∴面

（Ⅱ）设点到平面的距离为d，由题设，⊿PAC是边长为4的等边三角形

∴CM=

又∵AD=

∴⊿CDM≌⊿AMD

∵

∴

又∵

∴由得=

∴d=

∴点到平面的距离为。

考点：线面平行的判定定理和等积法的综合运用。

19. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表一：男生

表二：女生

（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的规则可得设从高一年级男生中抽出人，则，，然后求出女生人数即可得x，y值然后写出基本事件，根据古典概型求概率即可（2）对于独立性检验首先写出列联表，然后根据公式计算即可

试题解析：

（1）设从高一年级男生中抽出人，则，，则从女生中抽取20人，

所以，.

表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为，，，尚待改进的2人为，，则从这5人中任选2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10种，

设事件表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则的结果为，，，，，，共6种，所以，即所求概率为.

（2）列联表如下：

因为，，

而 ，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

点睛：首先要了解分层抽样的特点，按照抽取比例分层抽取即可，对于独立性检验则需熟悉列联表的写法明确公式中的每一个数值代入即可

20. 已知椭圆：（）的上、下两个焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）.（2）4.

【解析】试题分析：（1）首先根据椭圆中焦点三角形周长结论可得，，然后由，即可得椭圆的基本量求解方程（2）直线与椭圆只有一个交点，则联立后方程=0得m，k的关系式，然后由点到直线距离公式得d1，d2，写出四边形的面积，将各量代入化简求解即可

试题解析：学.科.网...

（1）因为的周长为8，所以，所以.又因为，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）将直线的方程代入到椭圆方程中，得 .

由直线与椭圆仅有一个公共点，知 ，化简得.

设，，

所以 ，

，

所以

.

因为四边形的面积，

所以

.

令（），则

，

所以当时，取得最大值为16，故，即四边形面积的最大值为4.

21. 已知函数（，）.

（1）如果曲线在点处的切线方程为，求，的值；

（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.

【答案】（1）（2）.

【解析】试题分析：（1）根据切线方程求法，先明确切点，可得等式可得a,b的值（2）关于的不等式的整数解有且只有一个，

等价于关于的不等式的整数解有且只要一个，所以构造函数，分析函数单调性在借助零点定理分析求解即可

试题解析：

（1）函数的定义域为，

.

因为曲线在点处的切线方程为，

所以得解得

（2）当时，（），

关于的不等式的整数解有且只有一个，

等价于关于的不等式的整数解有且只要一个.构造函数，，所以.学.科.网...

①当时，因为，，所以，又，所以，所以在内单调递增.

因为，，所以在上存在唯一的整数使得，即.

②当时，为满足题意，函数在内不存在整数使，即在上不存在整数使.

因为，所以.

当时，函数，所以在内为单调递减函数，所以，即；

当时，，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为.

（1）求直线被圆截得的弦长；

（2）若的坐标为，直线与圆交于，两点，求的值.

【答案】（1）.（2）7.

【解析】试题分析：(1)先将方程化为普通方程根据直线与圆的弦长公式求解（2）根据参数方程t的几何意义可得 .联立方程根据韦达定理即可得解

试题解析;

（1）将直线的参数方程化为普通方程可得，而圆的极坐标方程可化为，化为普通方程可得，

圆心到直线的距离为，

故直线被圆截得的弦长为.

（2）把代入，可得

.（*）

设，是方程（*）的两个根，则，

故 .

23. 选修4-5：不等式选讲

已知（为常数）.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.

【答案】（1） .（2）.

【解析】试题分析：（1）由可得，然后分段去绝对值解不等式即可（2）根据三角绝对值不等式可得函数最大值 ，又所以只需解出即可

试题解析：

（1）由可得，即.（*）学.科.网...

①当时，（*）式可化为，解之得，所以；

②当时，（*）式可化为，即，所以；

③当时，（*）式可化为，解之得，所以.

综上知，实数的取值范围为 .

（2）因为 ，所以，

由条件只需即，

解之得，即实数的取值范围是.