河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练6月1日第3天数学（理）试题

河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练6月1日第3天

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，且，若集合，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．          C．          D．

2．已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（    ）

A．在复平面内对应的点落在第四象限         B．         

C．的虚部为1                          D．

3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ）

A．       B．       C．        D．

4．据统计一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为（    ）

A．       B．       C．        D．

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（    ）

A．       B．       C．        D．

6．已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的前项和为        B．数列的通项公式为     

C．数列为递增数列                  D．数列是递增数列

7．古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物.算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36.”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为（    ）

A. 32  B. 29           C. 27            D. 21

8．若为区域内任意一点，则的最大值为（    ）

A．2         B．        C．          D．

9．已知实数，，，，则（    ）

A．         B．        C．          D．

10．将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为                      B．函数在区间上单调递增     

C．函数在区间上的最小值为        D．是函数的一条对称轴

11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数解，则的取值范围为（    ）

A．             B．       

C．          D．

12．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（    ）

A．             B．           C．          D．

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．在直角梯形中，，，则向量在向量上的投影为       .

14．二项式的展开式的常数项为       .

15．已知数列满足，且对任意的，都有，若数列满足，则数列的前项和的取值范围是       .

16．已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为边的中点，分别为上的动点（不包括端点），且，设，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为       . 

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知在中，所对的边分别为，.

（1）求的大小；

（2）若，求的值.

18．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点.

（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离.

19．2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：

（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；

（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求的分布列及数学期望.

20．椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.

（1）求椭圆方程；

（2）以点为圆心，半径为的圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

21．已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线：与：相交于两点，且.

（1）求的值；

（2）直线与曲线相交于两点，证明：（为圆心）为定值.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．         14．      15．       16．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．解：（1）∵,

∴，即，

∴，∴，

∴

又，∴或

（2）∵，∴

又由余弦定理得，∴

当时，则，∴，∴，

当时，则，

∴，，此方程无解.

综上所述，当且仅当时，可得.

18．解：（1）证明：如图，取中点，连接

∵为中点，∴

在平行四边形中，分别为的中点，∴

又，，

∴平面平面

∵平面，∴平面.

（2）连接，

∵四边形为菱形，∴

又，∴为正三角形

∵为的中点，∴

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

在平面内过点作交于点

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

设，

∴，

∴

∵，，∴，∴

设平面的法向量为，

则得，令，则，

∴平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，二面角的平面角为，

则

∴或（舍），∴，∴.

又，∴，∴

连接，设点到平面的距离为，则

∴，即点到平面的距离为.

19．解：（1）设表示所抽取3个中有所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件，则.

（2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为，

由题知的可能取值为0，1，2，3

，

∴的分布列为

∴.

20．解：（1）由题意得，

∴

∵，∴，∴，

∴所求椭圆方程为.

（2）设，联立得，

由得（*），且，∴

∴

∵以点为圆心，为半径的圆的方程为，∴，

∴，整理得

∵，∴

令，

∴，∴

令，则，

∴在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立，

此时取得最大值，且，

∴，∴且，

∴点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

21．解：（1）

由题意得，解得

（2）

对任意两个不等的正数，恒成立，

令，则，即恒成立

则问题等价于在上为增函数

，则问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即实数的取值范围是.

（3）不等式等价于，

整理得，构造函数，

由题意知，在上存在一点，使得

因为，所以，令，得

①当，即时，在上单调递增，只需，解得；

②当，即时，在处取得最小值.

令，即，可得（*）

令，则，不等式（*）可化为

因为，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立.

③当，即时，在上单调递减，只需

解得.

综上所述，实数的取值范围是.

22．解：（1）由题意可得直线和圆的直角坐标方程分别为，

∵，∴直线过圆的圆心，∴.

（2）证明：曲线的普通方程为，直线的参数方程为

（为参数），代入曲线的方程得，

恒成立，设两点对应的参数分别为，则，

∴，

∴为定值8.

23．解：（1）由可得，

即或或

解得或或，

故不等式的解集为.

（2）易知，由题意可得在上恒成立

在上恒成立在上恒成立

且在上恒成立.