河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考文数试题

数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（     ）

A．    B．   C．   D．

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ）

A．   B．    C．    D．

3.下列结论正确的是（    ）

A．若直线平面，直线平面，则

B．若直线平面，直线平面，则

C．若两直线与平面所成的角相等，则

D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则

4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（     ）

A．29   B．31    C．33    D．36

5.若正数满足，则的取最小值时的值为（     ）

A．1    B．3    C．4   D．5

6.若满足，且的最大值为6，则的值为（    ）

A．-1    B．1     C．-7    D．7

7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（     ）

A．计算数列前5项的和     B．计算数列前5项的和 

C．计算数列前6项的和    D．计算数列前6项的和

8. 中，“角成等差数列”是“”的（     ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（    ）

A．1    B．     C．2    D．

10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（    ）

A．    B．   C．    D．

11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．   C．  D．

12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若实数，且满足，则的大小关系是_____________．

14.若，则的值为___________．

15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．

16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是______________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

设为各项不相等的等差数列的前项和，已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，求的最大值．

18.（本小题满分12分）

已知向量，记．　

（1）若，求的值；　

（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．

19.（本小题满分12分）

如图，在梯形中，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段．　

（1）求证：平面；

（2）当为何值时，平面？证明你的结论．　

20.（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：．

21.（本小题满分12分）

已知函数．　

（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．

（1）若直线与曲线交于两点，求的值；

（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．

参考答案

一、选择题

二、填空题

13.   14．0  15．2  16．

三、解答题

17．解：（1）设的公差为，则由题意知，

解得（舍去）或，∴．．．．．．．．．．4分

（2）∵，∴

当且仅当，即时“=”成立，

即当时，取得最大值．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18．（1），

由，得，所以．．．．．．．．．．．．．6分

（2）因为，由正弦定理得

，所以，

所以，因为，

所以，且，所以，又，所以，

则，又，则，得，

所以，又因为，

故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．（1）证明：在梯形中，∵，

四边形是等腰梯形，且，

∴，∴

又∵平面平面，交线为，

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）

当时，平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分

在梯形中，设，连接，则，∵，

而，∴，∴，

∴四边形是平行四边形，∴又∵平面平面，∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（1）由可得．　

当时，，则函数在上为增函数，

当时，可得，由可得；

则函数在上为增函数，在上为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）证明：令，

则，

令，则，

∵，∴，又，∴，

∴在上为增函数，则，即，

由可得，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21．解：（1）∵，∴，∴，．．．．．．．．2分

又，∴，得．．．．．．．．．．．．．4分

由，得，

∴函数单调减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　5分

（2）因为在区间上恒成立不可能，

故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，

即对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

令，

则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

再令，

则，

故在上为减函数，于是，

从而，，于是在上为增函数，所以，

故要使恒成立，只要．

综上，若函数在上无零点，则的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22．解：（1）由可知，，

在中，则，因此；．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由，可知，又由（1）可知，

则，由题意，可得，

则，又，即，

又为圆的切线，则，

因此，即．．．．．．．．．．．．．．．10分

23．解：（1）已知曲线 的标准方程为，则其左焦点为．

则，将直线的参数方程与曲线联立，

得，则．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由曲线的方程为，可设曲线上的定点，

则以为顶点的内接矩形周长为，

因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

24．解：（1）令，则，

由于使不等式成立，有．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）知，，

根据基本不等式，

从而，当且仅当时取等号，

再根据基本不等式当且仅当时取等号，

所以的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分