高中人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算学案设计

这是一份高中人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算学案设计，共14页。

1．1　空间向量及其运算
1.1.2　空间向量的数量积运算




知识点一　空间向量的夹角

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
知识点二　空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
(2)由数量积定义，可以得到：
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
(3)运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．

1．空间向量数量积性质的应用
(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度．
(3)cos〈a，b〉＝，此结论可用于求有关空间角的问题．
(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题．
2．利用向量数量积求夹角问题的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围．
(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
3．求两点间的距离或线段长的方法
(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝.
(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个向量在另一个向量所在直线上的投影问题．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．(　　)
(2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.(　　)
(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　)
(4)在△ABC中，〈，〉＝∠B.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．做一做
(1)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中数量积可能不为零的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
(2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则a·b＝________.
(3)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________.
(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
答案　(1)A　(2)1　(3)135°　(4)



题型一 求向量的数量积
例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：

(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
[解]　(1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝.
(2)·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝.
(3)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－.

1．空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
[跟踪训练1]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积：

(1)·；
(2)·；
(3)·.
解　设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝1，|b|＝2，
(1)∵＝－＝b－a，
∴·＝(b－a)·c＝b·c－a·c.
又a，b，c两两互相垂直，∴b·c＝0，a·c＝0，
故·＝0.
(2)∵＝＋＝＋＝c＋b，
又＝＋＝a＋b，
∴·＝·(a＋b)＝|b|2＝2.
(3)∵＝－＝(＋)－(＋)
＝(a＋b)－＝a－c，
又＝a＋b，∴·＝·(a＋b)＝a2＝.
题型二 利用数量积求夹角
例2　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值．
[解]　如右图，设＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，

则a·b＝b·c＝c·a＝.
因为＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝－＝c－b，||＝||＝，
所以·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，
所以cos〈，〉＝＝－.
所以向量与夹角的余弦值是－.

由数量积求角的方法策略
(1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．在求a·b时，注意结合空间图形把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．
(2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成角的范围)．
[跟踪训练2]　三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.
答案　
解析　如图所示，设该三棱柱的底面边长为1，依题意有＝＋，＝＋＋＝＋－，则||2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋2cos60°＝3，||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝2，而·＝(＋)·(＋－)＝·＋·－·＋·＋·－·＝＋－1＋＋1－＝1，所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

题型三 利用向量数量积求距离
例3　已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
[解]　如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，
则∠DBD′＝30°，〈，〉＝120°，所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝b2＋a2＋b2＋2b2cos120°＝a2＋b2，
故CD＝.


(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．
(2)应牢记并能熟练地应用公式
|a＋b＋c|＝
＝.
[跟踪训练3]　在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．
解　如下图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的向量都用向量，，表示，于是＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.

又·＝·＝·＝a·a·cos60°＝a2，∴·＝·＝ 2－·－·＋·＋ 2＋ 2＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，即MN＝a.
题型四 判断或证明垂直问题
例4　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.

[证明]　设正方体的棱长为a，
∵·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝·＋·＝a2－a2＝0，
∴A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，
∴A1G⊥平面DEF.

利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路
(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.
[跟踪训练4]　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD.

证明　由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，
AB＝2AD知，DA⊥BD，则·＝0.
由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则·＝0.
又＝＋，∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0，即PA⊥BD.



1．下列各命题中，正确命题的个数为(　　)
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　B
解析　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故①正确；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故②正确；a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故③正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故④不一定正确．故选B.
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
答案　D
解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－1××cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
3．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A．6 B．
C．3 D．
答案　B
解析　如图，由题意可知，

∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝，即AC1的长为.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________.

答案　60°　1
解析　解法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos60°＝1.
解法二：根据向量的线性运算可得
·＝(＋)·＝2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.
5．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
解　(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
得|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°.


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案　D
解析　连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°.
2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．斜三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案　A
解析　∵＋＝，－＝，∴·＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形．
3. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么(　　)

A.·＜·
B.·＝·
C.·＞·
D.·与·不能比较大小
答案　C
解析　易知AE⊥BC，∴·＝0，·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||·||cos120°－||||cos120°＋||||·cos120°＜0.∴·＞·.
4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.
5．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　)
A．2 B．
C． D．
答案　D
解析　如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以||2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝.

6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的有(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．1与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
答案　AB
解析　如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，A，B正确，C，D不正确．故选AB.

二、填空题
7．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________.
答案　－
解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，∴λ＝－.
8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
答案　－13
解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
9．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________.
答案　②④
解析　①由向量数乘与数量积的区别，易知不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积运算可知成立．
三、解答题
10．如图所示，在平面角为120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．

解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α－AB－β的平面角为120°，
∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴||2＝2＝(＋＋)2＝ 2＋ 2＋ 2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos60°＝144，
∴CD＝12.
B级：“四能”提升训练
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.

(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解　(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.