高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理学案设计，共15页。

第一章　空间向量与立体几何
1.2　空间向量基本定理




知识点一　空间向量基本定理
(1)定理
条件
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p
结论
存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
(2)基底与基向量
如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二　空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

1．正确理解基底的概念
基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．用基底表示向量的方法
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　　)
(2)同一个基底表示同一向量的方式唯一．(　　)
(3)向量与的夹角等于异面直线AB与CD的夹角．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　)
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
(2)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．
(3)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，则·等于________.

答案　(1)A　(2)②　(3)1



题型一 基底的概念
例1　若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为空间的一个基底，
∴a，b，c不共面，
∴此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法
①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
[跟踪训练1]　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　C
解析　解法一：由空间向量共面的充要条件知：
若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不能作为基底．
若②中，假设x，y，z共面，则z＝λx＋μy，
即c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)＝λa＋(λ＋μ)b＋μc，
则此方程组无解．
∴x，y，z不共面，故②能作为基底．
同理，③④能作为基底．
解法二：如图所示，

设a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝，
由A，B1，C，D1四点不共面，
可知向量x，y，z也不共面，
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
题型二 用基底表示向量
例2　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).

[解]　连接AC，AC1.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c.
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
[结论探究]　如果把本例中要表示的向量改为，，，怎样解答呢？
解　＝－＝(＋)－＝a＋b－c.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋(－＋)＝b＋(－a＋c)＝－a＋b＋c.
＝＋＝－＋＝－a＋a＋b＋c＝－a＋b＋c.

用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
[跟踪训练2]　如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别为PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.

解　连接OB，OE，则＝＝(－)＝[－(＋)]＝c－a－b.
＝＋＝－＋
＝－a＋(－)＝－a＋c－b.
＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋c＋b.
∵E，F分别为PC，PB的中点，
∴＝＝＝a.
题型三 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积
例3　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；
(2)·；
(3)E·.
[解]　如右图，设A＝a，A＝b，＝c，

则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1) ·＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3) ·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.

在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的数量积满足的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意利用几何体中的垂直关系或者特殊角．
[跟踪训练3]　如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于(　　)

A．0 B．1
C．2 D．3
答案　A
解析　∵·＝(＋)·(－)
＝(－＋－)·(－)
＝(－2＋)·(－)
＝·－2－·＋·＋2－·，
又易知·＝0，·＝0，·＝0，||＝||，∴·＝0.故选A.
题型四 利用空间向量基本定理结合数量积求向量的夹角
例4　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1，▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，求异面直线BA1与AC所成的角．
[解]　设AB＝a，如图所示．

∵＝＋， ＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||| |cos〈， 〉，
∴cos〈，A〉＝＝－.
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°

利用cos〈a，b〉＝求向量夹角时；结合共面向量定理和空间向量基本定理，用分解向量法求a·b.
[跟踪训练4]　如图，已知E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与夹角的余弦值．

解　设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b，
＝a－c，a·b＝a·c＝b·c＝0.
设正方体的棱长为m，则||＝m，||＝m.
又·＝(a＋b)·＝a2－a·c＋a·b－b·c＝m2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴向量与夹角的余弦值为.



1. 已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设A＝a，A＝b，＝c，则A′B与B′C所成角的余弦值为(　　)

A． B．
C．－ D．－
答案　B
解析　∵·＝(A－)·(B－)＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，∴cos〈，〉＝＝＝.
2．在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若A＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)

A． B．
C．1 D．2
答案　C
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋，所以x＝，y＝z＝，所以x＋y＋z＝1，故选C.
3．(多选)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{ ， ， }成为空间的一个基底的是(　　)
A． ＝＋ ＋
B． ＝＋
C． ＝＋＋
D． ＝2－
答案　AC
解析　对于选项A，因为＋＋＝≠1，所以，，不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；对于选项C，因为1＋1＋1＝3≠1，所以，，不共面，能构成空间的一个基底，故C正确；对于选项B，D，易知，，共面，不能构成空间的一个基底，故B，D错误．故选AC.
4．已知空间单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3满足m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＋y＋z＝________.
答案　8
解析　由题意可得
即解得所以x＋y＋z＝8.
5．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， ＝a， ＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．

(1)用基底{a，b，c}表示向量， ， ；
(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．
解　(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c.
＝＋＋＝－a＋b＋c.
＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.
(2)＋＋＝＋(＋)＝＋
＝＋＝.
如图，连接DA1，则即为所求．




A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．－a＋b＋c
答案　D
解析　如图，连接C1D，则＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)＝c＋(b－c－a)＝－a＋b＋c.

2. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a， ＝b， ＝c，则等于(　　)

A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a＋b＋c
答案　B
解析　＝(＋)＝＋＝(－)＋(－)＝－a＋b＋c.
3．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝α a＋β b＋γ c，则α，β，γ分别为(　　)
A．，－1，－ B．，1，
C．－，1，－ D．，1，－
答案　A
解析　由d＝αa＋β b＋γ c，得d＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，又d＝e1＋2e2＋3e3，
∴解得
4．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p q，而q⇒p，故命题p是命题q的必要不充分条件．
5．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　)
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
答案　A
解析　如图，＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝y＝z＝1.

6．(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的是(　　)
A．a B．a＋2c
C．b－c D．a＋2b
答案　BC
解析　p，q与a共面，p，q与a＋2b共面，故不能构成基底．故选BC.
二、填空题
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
答案　1　－1
解析　因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面C1CDD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
答案　－
解析　如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，＝，即－＝0，又＋λ＝0.∴λ＝－.

9．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.
答案　2　1　
解析　如图，＝＋＝＋(＋)
＝2a＋b＋c＝xa＋yb＋zc.
所以x＝2，y＝1，z＝.

三、解答题
10. 如图所示，M，N分别是四面体O－ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示向量和.

解　＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
B级：“四能”提升训练
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中的x，y，z的值．

(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
解　(1)因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝1.
2. 如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB＝
∠C1CD＝∠BCD＝60°，且C1C＝CD＝1.

(1)试用， ，表示，并求||；
(2)求证：CC1⊥BD；
(3)试判断直线A1C与平面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．
解　(1)＝C＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋12＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6，
∴||＝.
(2)证明：∵·＝·(－)＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，
∴⊥，∴CC1⊥BD.
(3)A1C⊥平面C1BD.
证明：∵·＝(＋＋)·(－)＝2－·＋C·－2＋·－·＝0，
∴⊥，∴CA1⊥BD.
同理可证CA1⊥BC1.
∵BC1⊂平面C1BD，BD⊂平面C1BD，BC1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面C1BD.