高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案

2.1.1　倾斜角与斜率

知识点一　直线的倾斜角

1．倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(1)当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°；

(2)当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°.

2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

知识点二　直线的斜率与倾斜角的关系

1．斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率．

2．斜率与倾斜角的对应关系

知识点三　斜率的求法

(1)定义法：已知倾斜角α(α≠90°)，k＝tanα.

(2)两点法：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则斜率k＝.

1．对直线倾斜角的理解

(1)倾斜角定义中含有三个条件

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

(2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴绕直线与x轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角．

(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．

(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

2．运用斜率公式时应该注意的问题

(1)斜率公式与P1，P2点的先后顺序无关.

(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意一条直线都有倾斜角．(　　)

(2)任意一条直线都有斜率．(　　)

(3)倾斜角越大，斜率也越大．(　　)

(4)倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．做一做

(1)已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为(　　)

A．150°  B．135°

C．75°  D．45°

(2)如图1所示，直线l的倾斜角为________.

(3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________.

(4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________.

(5)过点(0,1)和(－3,0)的直线的斜率为________.

答案　(1)B　(2)135°　(3)0　(4)k1<k3<k2　(5)

题型一  直线的倾斜角与斜率的概念

例1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________；

(2)如下图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．

[解析]　(1)有两种情况：

①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

(2)直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝.

∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴直线l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－.

[答案]　(1)60°或120°　(2)见解析

直线的倾斜角与斜率的关系

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

(2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析．

 [跟踪训练1]　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

答案　D

解析　根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不符合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.

(2) 如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，其中l1∥l4，则(　　)

A．k1<k2<k3<k4

B．k1＝k4<k2<k3

C．k3<k2<k1＝k4

D．k4＝k1<k3<k2

答案　D

解析　由 l1与l4平行，知l1与l4的倾斜角相等，所以斜率相等，故排除A项．从图上可知l3的倾斜角比l2的倾斜角小，并且是小于90°的角，所以k2>k3>0.而l1与l4的倾斜角是钝角，故k1＝k4<0，通过以上的分析可知D项是正确的.

题型二  求直线的斜率

例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率．

(1)A(－，)，B(，－)；

(2)A(a，a＋b)，B(c，b＋c)(a≠c)；

(3)A(a，b)，B(b，c)(b≠c)．

[解]　(1)∵－≠，∴直线AB的斜率存在，由斜率公式知k＝＝－1.

(2)∵a≠c，

∴直线AB的斜率存在，由斜率公式知

k＝＝1.

(3)①当a＝b时，A，B两点的横坐标相等，直线AB⊥x轴，直线AB的斜率不存在；②当a≠b时，直线AB的斜率存在，由斜率公式知k＝.

斜率公式

(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.

(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

 [跟踪训练2]　(1)若直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A．[0,2]　  B．[0,1]

C.  D．

答案　A

解析　先在平面直角坐标系中作出适合题意的所有直线，再求斜率的范围．如下图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．

(2)已知直线l过点P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．

解　根据题中的条件可画出图形，如图所示，

又可得直线PA的斜率kPA＝－，直线PB的斜率kPB＝，

结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的变化范围为，

当直线l由与y轴平行的位置变化到PA的位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.

综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪.

题型三  直线斜率公式的应用

例3　已知A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)三点在同一条直线上，求a的值．

[解]　由题意知该直线的斜率存在，∵A，B，C三点共线，

∴kAB＝kBC，即＝，解得a＝2或a＝.

故所求的a的值为2或.

[条件探究]　已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

解　由题意可知kAB＝，kAC＝，kAD＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3.所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.

斜率公式解决三点共线问题

(1)利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线．

(2)由于同一直线上任意两点连线的斜率都相等，因此A，B，C三点共线⇔A，B，C中任意两点连线的斜率相等(如kAB＝kAC)．

斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．

[跟踪训练3]　(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；

(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．

解　(1)∵α＝45°，

∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

∵P1，P2，P3都在直线l上，∴kP1P2＝kP2P3＝k，

∴＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.

(2)如图所示：

当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.

1．下列说法正确的是(　　)

A．直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角

B．直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°

C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°

D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率

答案　D

解析　A项，倾斜角的定义中把直线向上的方向与x轴正方向所成角叫倾斜角，∴A错误；B项，倾斜角的范围是0°≤α<180°，∴B错误；C项，与x轴平行的直线的倾斜角为0°，∴C错误；D正确．

2．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　)

A．0°≤α<90°  B．90°≤α<180°

C．90°<α<180°  D．0°<α<180°

答案　C

解析　直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90°<α<180°.

3．若经过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的方向向量为(1,1)，则y＝(　　)

A．－  B．

C．－1  D．1

答案　C

解析　由题意可得＝1，解得y＝－1.故选C.

4．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________.

答案　互补

解析　若k1＝－k2，则tanα1＝－tanα2＝tan(180°－α2)，∴α1＝180°－α2，∴α1＋α2＝180°，∴倾斜角的关系为互补．

5．求下图中各直线的倾斜角．

解　(1)如图(a)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.

(2)如图(b)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.

(3)如图(c)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　)

A．k1<k2<k3  B．k1<k3<k2

C．k2<k1<k3  D．k3<k2<k1

答案　A

解析　根据“在倾斜角α∈[0,90)时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．

2．m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　　)

A．在同一条直线上  B．是直角三角形的顶点

C．是等腰三角形的顶点  D．是等边三角形的顶点

答案　A

解析　kAB＝＝－1，kBC＝＝－1，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线．

3．斜率为1的直线经过(－2，－1)，(2，a)，(b,1)三点，则a，b的值是(　　)

A．a＝3，b＝0  B．a＝5，b＝－4

C．a＝3，b＝4  D．a＝5，b＝0

答案　A

解析　由斜率公式可得解得

4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)

A．m<1  B．m>－1

C．－1<m<1  D．m>1或m<－1

答案　C

解析　∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，∴－1<m<1.

5．(多选)已知直线ax＋by＝ab，则下列说法正确的是(　　)

A．当a≠0，b＝0时，直线的倾斜角为直角

B．当a＝0，b≠0时，直线的倾斜角为平角

C．当ab<0时，直线的倾斜角为锐角

D．当ab>0时，直线的倾斜角为钝角

答案　ACD

解析　当a≠0，b＝0时，直线表示的是y轴，倾斜角为直角，A正确；当a＝0，b≠0时，直线表示的是x轴，倾斜角为0°，B错误；当ab<0时，∵直线过(0，a)，(b,0)，∴斜率k＝＝－，由于ab<0，∴k>0，∴倾斜角为锐角，故C正确；同理可知D正确．故选ACD.

二、填空题

6．已知A(x,0)，B(2，)两点，且直线AB的倾斜角为60°，则直线AB的斜率为________，x的值为________.

答案　　1

解析　斜率k＝tan60°＝，由＝，解得x＝1.

7．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是________.

答案　(1,6)

解析　设点P(x，y)，则有＝2，且＝－2，解得x＝1，y＝6，即点P的坐标是(1,6)．

8．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角．

答案　(－∞，－5)∪(1，＋∞)　{－5}　(－5,1)

解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝，kMN>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝，kMN<0，则－5<m<1.

三、解答题

9．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．

解　∵l2过(5,3)，(8,6)，∴l2的斜率k2＝＝1，

∴l2的倾斜角为45°.又l1，l2，l3，l4倾斜角之比为1∶2∶3∶4，

∴l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.

B级：“四能”提升训练

点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,3]时，求：

(1)的最大值与最小值；

(2)的取值范围．

解　(1)解法一：如下图所示，由于点M(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点M(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

由于的几何意义是直线OM的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.

解法二：∵y＝－2x＋8，∴＝－2.

设f(x)＝＝－2，则f(x)在[2,3]上单调递减．

当x＝2时，f(x)max＝2；当x＝3时，f(x)min＝.

故的最大、最小值分别为2，.

(2)由于＝，其几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．

设函数y＝－2x＋8在x∈[2,3]的图象的左、右端点分别为A(2,4)，B(3,2)．

∵kNA＝，kNB＝，

∴≤≤.

∴的取值范围为.