高中人教A版 (2019)2.1 直线的倾斜角与斜率学案

2.1  直线的倾斜角与斜率

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

知识点一　两条直线平行的判定

两条直线平行与斜率的关系

设两条不重合的直线l1，l2斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：

知识点二　两条直线垂直的判定

两条直线垂直与斜率的关系

1．关于两直线平行与斜率的关系要注意的几点

(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．

2．关于两直线垂直与斜率的关系要注意的几点

(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.

(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直．

(3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．(　　)

(2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　)

(3)若两条直线平行，则两条直线的倾斜角一定相等．(　　)

(4)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________.

(2)已知点A(0,1)和B(－1,0)，直线l与直线AB平行，则直线l的斜率k＝________.

(3)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0,5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________.

(4)已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线，直线l的斜率为－2.若AB⊥l，则m＝________；若AB∥l，则m＝________.

答案　(1)－　(2)1　(3)l1⊥l2　(4)2　－8

题型一  两条直线的平行问题

例1　已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．

[解]　设顶点D的坐标为(m，n)，由题意可得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，

所以解得m＝3，n＝4.

所以顶点D的坐标为(3,4)．

[条件探究]　已知▱ABCD的三个顶点分别为(0,1)，(1,0)，(4,3)，求第四个顶点的坐标？(A，B，C，D按逆时针方向排列)

解　(1)若A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，由例1可知D(3,4)；

(2)若A(1,0)，B(4,3)，C(0,1)，同理可得D(－3，－2)；

(3)若A(4,3)，B(0,1)，C(1,0)，同理可得D(5,2)．

1．利用斜率公式解决两直线平行问题

解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．

2．判断两条不重合的直线是否平行的步骤

 [跟踪训练1]　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；

(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；

(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．

解　设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.

(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.

(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．

(3)由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．

(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，但是y轴，所以l1∥l2.

题型二  两条直线的垂直问题

例2　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．

[解]　由斜率公式可得

kAB＝＝，

kBC＝＝0，

kAC＝＝5.由kBC＝0知直线BC∥x轴，

所以BC边上的高所在直线与x轴垂直，其斜率不存在．

设AB，AC边上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，

由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1，

即k1·＝－1，k2·5＝－1，

解得k1＝－，k2＝－.

综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在；

AB边上的高所在直线的斜率为－；

AC边上的高所在直线的斜率为－.

[变式探究]　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．

解　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.

∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，

∴l2的斜率存在．

当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．

当k2≠0时，即a≠5，此时k1存在，

由k1k2＝－1，得·＝－1，

解得a＝－6.

综上可知，a的值为5或－6.

使用斜率判定两条直线垂直的注意事项

(1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k1k2＝－1；

(2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在．

[跟踪训练2]　判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直．

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2,1)；

(2)l1经过点C(3,4)，D(3,6)，l2经过点E(－5,20)，F(5,20)；

(3)l1经过点H(1,3)，I(－1，－1)，l2经过点G(2,1)，K(4,0)．

解　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1k2＝1，所以l1与l2不垂直．

(2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝＝0，所以l1⊥l2.

(3)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝－，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2.

题型三  平行与垂直的综合应用

例3　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状．

[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.

所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kABkAD＝×(－3)＝－1，

所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．

[条件探究]　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．

解　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，∵kAB＝3，kBC＝0，

∴kABkBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，

故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．

①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，

AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3，

此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3)．

②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，

∵kAD＝，kCD＝，

∴·3＝－1，·＝－1.

即＝－，－·＝－1.

解得x＝，y＝，

∴点D的坐标为.

综上可知，点D的坐标为(3,3)或.

(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．

(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．

[跟踪训练3]　已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(3，－2)，C(5,1)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．

解　如图，∵kAB＝＝－，kAD＝＝，

kCD＝＝－，kBC＝＝.

∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.

∴AB∥CD，BC∥AD.

又kADkAB＝×＝－1，

∴AD⊥AB.

∴四边形ABCD为矩形．

∵B(3，－2)，D(2,3)，

由勾股定理得|AB|＝＝，

|AD|＝＝，

∴|AB|＝|AD|，∴矩形ABCD为正方形．

因此四边形ABCD为正方形．

1．(多选)下列说法正确的有(　　)

A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合

B．若l1∥l2，则k1＝k2

C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直

D．若两条直线的斜率都不存在且这两条直线不重合，则这两条直线平行

答案　AD

解析　若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以A正确；当两条直线都垂直于x轴时，两直线平行，但斜率不存在，所以B不正确，D正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线才垂直，所以C不正确．故选AD.

2．若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为(　　)

A．－1  B．

C．2  D．

答案　B

解析　由斜率公式得kAB＝＝，因为直线AB平行于直线PQ，所以直线PQ的斜率存在且kPQ＝kAB，因为kPQ＝，所以＝，解得m＝，当m＝时，验证可得两直线不重合．

3．经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值为________.

答案　

解析　由题意知直线l的斜率为，即kMN＝，

所以＝，解得m＝.

4．顺次连接A(1，－1)，B(2，－1)，C(0,1)，D(0,0)四点所组成的图形是________.

答案　等腰梯形

解析　∵kCB＝－1，kAD＝－1，∴AD∥BC.

又kAB＝0，kCD不存在，∴四边形ABCD为梯形．

又|AB|＝|CD|＝1，∴梯形ABCD为等腰梯形．

5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CD⊥AB且CB∥AD.

解　设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB＝3，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－2，直线AD的斜率kAD＝，由CD⊥AB且CB∥AD，得×3＝－1，－2＝，所以x＝0，y＝1，所以点D的坐标是(0,1)．

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知直线l1的倾斜角为，直线l2经过点A(3,2)，B(a，－1)且l1与l2垂直，则a＝(　　)

A．－4  B．－2

C．0  D．2

答案　C

解析　因为直线l1的倾斜角为，所以直线l1的斜率k＝－1，又l1与l2垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝1，即＝1，解得a＝0.

2．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(4,3)，D(－2,1)四点所组成的图形是(　　)

A．矩形  B．正方形

C．平行四边形  D．直角梯形

答案　C

解析　kAB＝＝，kCD＝＝，∴AB∥CD.

又kAD＝＝－1，kBC＝＝－1，∴AD∥BC，又kAB·kAD≠－1，∴四边形ABCD为平行四边形．

3．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　)

A．45°  B．135°

C．30°  D．60°

答案　A

解析　若a＝b－1时，P，Q两点重合，∴直线PQ斜率存在．∵kPQ＝＝－1，又点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.

4．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为(　　)

A．(0，－6)  B．(0,7)

C．(0，－6)或(0,7)  D．(－6,0)或(7,0)

答案　C

解析　由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，即·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．

5．(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)

A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1,0)，Q(4，)

B．l1的斜率为－，l2过点A(1,1)，B

C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2)

D．l2过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点A(－6,0)，B(－1,3)

答案　ABD

解析　对于A，l1的斜率为－，l2的斜率为＝，因为－×＝－1，故A正确；对于B，l2的斜率为＝，因为－×＝－1，故B正确；对于C，l1的斜率为，l2的斜率为＝，因为×＝1，故C错误；对于D，l1的斜率为＝－，l2的斜率为＝，因为－×＝－1，故D正确．故选ABD.

二、填空题

6．直线l1的倾斜角为45°，直线l2过A(－2，－1)，B(3，4)，则l1与l2的位置关系为________.

答案　平行或重合

解析　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1的倾斜角为45°，∴k1＝1.∵直线l2过A(－2，－1)，B(3，4)，∴k2＝＝1.∵k1＝k2，∴l1与l2平行或重合．

7．已知△ABC的顶点坐标为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的倾斜角是________.

答案　135°

解析　kBC＝＝1，∴BC边上的高所在的直线斜率存在，设BC边上的高所在直线的斜率为k，则k·kBC＝－1.∴k＝－1，倾斜角为135°.

8．已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.

答案　2　－

解析　若l1⊥l2，则k1k2＝－1，即－＝－1，∴b＝2；

若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，

∴b＝－.

三、解答题

9．已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判定▱ABCD是否为菱形？

解　(1)设D(a，b)，由▱ABCD，

得kAB＝kCD，kAD＝kBC，

即解得∴D(－1,6)．

(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，

∴kAC·kBD＝－1.

∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．

B级：“四能”提升训练

已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．

解　因为A，B两点的纵坐标不相等，所以AB与x轴不平行．

因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，

所以－m≠3，即m≠－3.

当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，

解得m＝－1.

当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1，

则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．

当AB与x轴不垂直时，由斜率公式，得

kAB＝＝，

kCD＝＝.

因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，

即·＝－1，解得m＝1.

综上，m的值为1或－1.