人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程导学案及答案

2.2.1　直线的点斜式方程

知识点一　直角坐标系中确定一条直线的几何要素

在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线．

知识点二　直线的点斜式方程

(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．

(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为x＝x0.

知识点三　直线的斜截式方程

(1)斜率为k，且与y轴交于点(0，b)的直线方程为y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．

(2)直线方程y＝kx＋b中k的几何意义是直线的斜率，b的几何意义是直线在y轴上的截距.

1．关于点斜式的几点说明

(1)直线的点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．

(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．

(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．

2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．

3．判断两条直线位置关系的方法

直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.

(1)若k1≠k2，则两直线相交．

(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，

当b1≠b2时，两直线平行；

当b1＝b2时，两直线重合．

(3)特别地，当k1k2＝－1时，两直线垂直．

(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　)

(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　　)

(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√

2．做一做

(1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)

A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1

B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1

C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1

(2)过点P(－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为___________________.

(3)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________.

(4)斜率为2，过点A(0,3)的直线的斜截式方程为______________________.

答案　(1)C　(2)y－2＝(x＋1)　(3)－　2

(4)y＝2x＋3

题型一  求直线的点斜式方程

例1　写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线；

(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；

(3)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线．

[解]　(1)∵直线平行于y轴，∴直线的斜率不存在，∴直线方程为x＝－5.

(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直线l的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．

(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，

∴所求直线方程为y－2＝2(x－1)．

直线的点斜式方程的适用范围

已知直线上一点的坐标以及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线的点斜式方程表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.

 [跟踪训练1]　写出下列直线的点斜式方程：

(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；

(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；

(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．

解　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，

由直线的点斜式方程得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．

(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4.

(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2).

题型二  求直线的斜截式方程

例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

[解]　(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k＝tan150°＝－，由斜截式可得所求直线方程为y＝－x－2.

(3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k＝tan60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.

直线的斜截式方程的求解策略

(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

[跟踪训练2]　(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2 的直线的斜截式方程；

(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程；

(3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标．

解　(1)易知k＝－1，b＝－2，

由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝－x－2.

(2)由于直线斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式为y＝－x＋4.

(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1).

题型三  平行与垂直问题

例3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？

(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？

[解]　(1)由题意可知，直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.∵l1∥l2，

∴解得a＝－1.

故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．

(2)由题意可知，直线l1的斜率k1＝2a－1，直线l2的斜率k2＝4.

∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.

故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．

[条件探究]　在本例(1)中将l1改为y＝－ax＋2a，又如何求a值？

解　由题意可知，直线l1的斜率k1＝－a，直线l2的斜率k2＝a2－2.

∵l1∥l2，∴解得a＝－2.

∴当a＝－2时，直线l1与l2平行．

(1)两条直线平行和垂直的判定

已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，

①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.

②若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之k1k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件．

[跟踪训练3]　已知直线l过点A(2，－3)．

(1)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行，求其方程；

(2)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，求其方程．

解　(1)由斜率公式得直线l′的斜率k′＝＝－2，∵l与l′平行，∴直线l的斜率k＝－2.

由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)，

∴直线方程为y＝－2x＋1.

(2)∵直线l′的斜率为k′＝－2，l与其垂直，

∴直线l的斜率k＝.

由直线的点斜式方程知l：y＋3＝(x－2)，

∴直线方程为y＝x－4.

1．直线y＝k(x＋2)＋3必过一定点，该定点为(　　)

A．(3,2)  B．(2,3)

C．(2，－3)  D．(－2,3)

答案　D

解析　直线方程可化为y－3＝k(x＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线的斜率为k，且过点(－2,3)．

2．(多选)方程y＝ax＋表示的直线可能是(　　)

答案　AB

解析　易知a≠0，当a>0时，>0，即直线的斜率为正，直线在y轴上的截距为正，A符合；当a<0时，<0，即直线的斜率为负，直线在y轴上的截距为负，B符合．故选AB.

3．倾斜角为120°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________.

答案　y＝－x－3

解析　∵所求直线的倾斜角为120°，∴它的斜率k＝tan120°＝－，又b＝－3，∴它的斜截式方程为y＝－x－3.

4．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________.

答案　y－2＝(x＋3)

解析　∵所求直线与y－1＝(x＋5)平行，

∴所求直线的斜率为，又所求直线过点(－3,2)，

∴所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋3)．

5．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过点P(3，－4)；

(2)在x轴上的截距为－2；

(3)在y轴上的截距为3.

解　设直线y＝－x＋5的倾斜角为α，则直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，∴α＝150°.

故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝.

(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程，得y＋4＝(x－3)，

∴y＝x－－4.

(2)在x轴上的截距为－2，即直线l过点(－2,0)，

由点斜式方程，得y－0＝(x＋2)．∴y＝x＋.

(3)在y轴上的截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的定点，倾斜角分别为(　　)

A．(4,3)，60°  B．(－3，－4)，30°

C．(4,3)，30°  D．(－4，－3)，60°

答案　A

解析　由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为，所以倾斜角为60°.

2．已知ab>0，bc>0，则直线ax＋by＝c通过(　　)

A．第一、二、三象限  B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限  D．第二、三、四象限

答案　B

解析　把直线ax＋by＝c化为y＝－x＋，

∵ab>0，bc>0，∴－<0，>0.故直线通过第一、二、四象限．

3．下列四个结论：

①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；

②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1；

③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；

④所有直线都有点斜式和斜截式方程．

其中正确的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　B

解析　①中，k＝表示的直线不过(－1,2)，而y－2＝k(x＋1)过点(－1,2)，∴①错误；②③均正确；④中，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，∴④错误．故选B.

4．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线是(　　)

A．x＝－1  B．y＝1

C．y－1＝(x＋1)  D．y－1＝2(x＋1)

答案　C

解析　∵y＝x－2的斜率为，∴所求直线的斜率为，又过(－1，1)，∴其直线方程为y－1＝(x＋1)．

5．(多选)在同一直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能是(　　)

答案　AB

解析　在选项C中，b1>b2，不符合题意；在选项D中，k1<k2，不符合题意，故选AB.

二、填空题

6．若点A(－1,3)在直线l上的射影为N(1，－1)，则直线l的点斜式方程为________.

答案　y＋1＝(x－1)

解析　由题意可知直线AN⊥l，且直线l过点N(1，－1)，又kAN＝＝－2，所以直线l的斜率为，故直线l的点斜式方程为y＋1＝(x－1)．

7．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程为________.

答案　y＝－x或y＝x－5

解析　由题意，得直线的斜率存在．设直线方程为y－(－3)＝a(x－2)，显然a≠0，令y＝0，得x＝＋2；

令x＝0，得y＝－2a－3.

所以＋2＋(－2a－3)＝0，解得a＝1或a＝－.

故所求直线方程为y＋3＝x－2或y＋3＝－(x－2)，

即y＝x－5或y＝－x.

8．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，则直线l1的点斜式方程为________________，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，则直线l2的点斜式方程为________________.

答案　y－2＝－(x＋1)　y－2＝－(x＋1)

解析　直线l1的点斜式方程是

y－2＝－(x＋1)．

∵k1＝－＝tanα1，∴α1＝150°.

如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，

∴k2＝tan120°＝－，

∴l2的点斜式方程为y－2＝－(x＋1)．

三、解答题

9．已知点A(1,2)和直线l：y＝－x＋，求：

(1)过点A与直线l平行的直线l1的方程；

(2)过点A与直线l垂直的直线l2的方程．

解　(1)由y＝－x＋，得直线l的斜率k＝－.

∵l∥l1，∴直线l1的斜率k1＝k＝－.

∴直线l1的方程为y－2＝－(x－1)，

即y＝－x＋.

(2)由y＝－x＋，得直线l的斜率k＝－.

∵l⊥l2，∴k2·k＝－1，∴k2＝.

∴直线l2的方程为y－2＝(x－1)，

即y＝x＋.

B级：“四能”提升训练

已知直线l：y＝kx＋2k＋1.

(1)求证：直线l过定点；

(2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．

解　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．

(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．

若－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，

需满足即

解得－≤k≤1.所以实数k的取值范围是－≤k≤1.