高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

2.2  直线的方程

2.2.2　直线的两点式方程

知识点一　直线的两点式方程

知识点二　直线的截距式方程

1．要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．

2．直线的截距式方程为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)斜率不存在的直线有两点式方程．(　　)

(2)与x轴平行的直线没有两点式方程．(　　)

(3)过原点的直线没有截距式方程．(　　)

(4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．做一做

(1)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　)

A．x＋y＝5  B．x－y＝5

C．x＋y＝5或x－4y＝0  D．x－y＝5或x－4y＝0

(2)过点A(1,1)，B(2,3)的直线的两点式方程为______________.

(3)过点C(0,2)，D(－3,0)的直线的截距式方程为____________.

(4)已知点E(1,5)，F(－1,3)，则线段EF的中点坐标为________.

答案　(1)C　(2)＝　(3)＋＝1

(4)(0,4)

题型一  直线的两点式方程

例1　已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

[解]　过点A(－5,0)，C(0,2)的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程．

设线段AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边中点D的连线．

因为即D.

由两点式得直线BD的方程为＝，整理可得8x＋11y＋9＝0.此即为AC边上的中线所在直线的方程．

直线的两点式方程的适用范围及注意事项

(1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程．

(2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误．

[跟踪训练1]　已知△ABC三个顶点的坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．

解　∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点的横坐标相同，

∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，

∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为＝，

即x－y－3＝0.

∵B(2,2)，C(4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.

题型二  直线的截距式方程

例2　直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程．

[解]　设直线l的方程为＋＝1，

由已知得a＋b＝12.①

又直线l过点(－3,4)，∴＋＝1.②

由①②解得或

故直线l的方程为＋＝1或＋＝1，

即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.

[条件探究]　在本例中若改为截距之积为6，又如何求直线l的方程？

解　设直线l的方程为＋＝1，

由已知得ab＝6.①

又直线l过点(－3,4)，∴＋＝1.②

由①②解得或

故直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

用截距式方程解决问题的优点及注意事项

(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．

(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．

(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．

 [跟踪训练2]　已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．

解　由题意可设A(x,0)，B(0，y)，由中点坐标公式可得解得∴A(8,0)，B(0,2)．

由直线的截距式方程得直线l的方程为＋＝1，

即x＋4y－8＝0.

题型三  与截距有关的问题

例3　已知直线过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．

[解]　设直线与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b)．

(1)当ab≠0时，直线方程为＋＝1.

由点P在此直线上，有＋＝1，①

又由已知得|a|＝|b|，②

联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1.

所以直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.

(2)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2,3)，易知直线方程为3x－2y＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0或3x－2y＝0.

截距式方程的适用范围

(1)在解答本题过程中易出现不考虑截距可能为0而漏解的错误，导致这种错误的原因是对截距的概念理解不深和对截距式方程的适用范围把握不准．

(2)如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．

[跟踪训练3]　(1)求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程；

(2)求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．

解　(1)①当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，设其方程为＋＝1.将点A(－3,4)代入上式，有＋＝1，解得a＝－7，所以直线l的方程为x－y＋7＝0.

②当直线l在坐标轴上的截距都为零时，显然可设直线方程为y＝kx，将点A(－3,4)代入可得k＝－，所以此时直线l的方程为4x＋3y＝0.

综上所述，直线l的方程为x－y＋7＝0或4x＋3y＝0.

(2)由题意知，当直线l在两坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为2x－5y＝0.

当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，

设直线l的方程为＋＝1，

将点(5,2)代入方程得＋＝1，解得a＝.

∴直线l的方程为x＋2y－9＝0.

综上，所求直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.

题型四  直线方程的综合应用

例4　若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．

[解]　因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.

①若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，

则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.

∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，

∴直线l的方程为x＋y±6＝0.

②若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为－a，故直线的方程为＋＝1，即x－y－a＝0.

∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，

∴直线l的方程为x－y±6＝0.

综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.

利用截距求面积

(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与两坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与两坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．

(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知道截距的大小，因此，需要进行分类讨论．

[跟踪训练4]　已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线l过定点A(－3,4)，求直线l的方程．

解　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，则|3k＋4|·＝3，

显然k>0时不成立．

解得k1＝－，k2＝－.

所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

1．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有(　　)

A．a＝2，b＝5  B．a＝2，b＝－5

C．a＝－2，b＝5  D．a＝－2，b＝－5

答案　B

解析　令y＝0，则a＝2.令x＝0，则b＝－5，故选B.

2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(　　)

A．－  B．－

C．  D．2

答案　A

解析　直线的方程为＝，化为截距式为＋＝1，则直线在x轴上的截距为－.

3．(多选)下列语句中正确的是(　　)

A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示

B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示

C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示

D．斜率存在且经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示

答案　BD

解析　A中，当直线的斜率不存在时，不能表示，A错误；B正确；C中方程不能表示与坐标轴平行的直线，C错误；D正确．故选BD.

4．过点(0,3)，且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线方程是________.

答案　3x＋2y－6＝0

解析　设直线方程为＋＝1，则a＋b＝5，且过点(0,3)，∴＝1，∴b＝3，a＝2，∴所求直线的方程为3x＋2y－6＝0.

5．△ABC的三个顶点A(－4,0)，B(0,2)，C(4，－4)，求这个三角形的三边所在的直线方程．

解　kAC＝＝－，

由点斜式方程，得直线AC的方程为

y－0＝－(x＋4)，即x＋2y＋4＝0.

∵A(－4,0)，B(0,2)．

由截距式方程得直线AB的方程为＋＝1，即x－2y＋4＝0.

∵B(0,2)，C(4，－4)，由两点式方程得直线BC的方程为＝，即3x＋2y－4＝0.

∴三边AC，AB，BC所在直线的方程分别为

x＋2y＋4＝0，x－2y＋4＝0,3x＋2y－4＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．下列说法中正确的是(　　)

A．直线的截距式方程可表示除过原点外的所有直线

B.－＝1与＋＝－1是直线的截距式方程

C．直线的斜截式方程都可以化为截距式

D．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为＋＝1

答案　D

解析　因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A错误．因为方程－＝1与＋＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B错误．因为斜截式的直线包含截距为0的情况，因此不可以化为截距式，如直线y＝2x，所以C错误．直线在x轴、y轴上的截距分别是2，－3，根据直线的截距式方程，可得直线的方程为＋＝1，所以D正确．

2．若3x1－4y1－2＝0,3x2－4y2－2＝0，则过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线方程是(　　)

A．4x＋3y－2＝0  B．3x－4y－2＝0

C．4x＋3y＋2＝0  D．3x－4y＋2＝0

答案　B

解析　由题意得A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标都满足方程3x－4y－2＝0，所以过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线方程是3x－4y－2＝0.

3．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A．ab  B．|ab|

C．  D．

答案　D

解析　令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.

S＝＝.故选D.

4．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的(　　)

答案　B

解析　两直线斜率同号，故选B.

5．(多选)过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线可能为(　　)

A．y＝－2x  B．y＝－x－1

C．y＝x－3  D．y＝2x－4

答案　ABC

解析　当直线经过原点时，直线的方程为y＝－2x.当直线不经过原点时，设直线的方程为x＋y＝a或x－y＝b.把(1，－2)代入可得a＝－1或b＝3，可得直线方程为x＋y＝－1，x－y＝3，即y＝－x－1，y＝x－3.综上：满足条件的直线分别是y＝－2x，y＝－x－1，y＝x－3.故选ABC.

二、填空题

6．已知m∈R，过定点A的动直线是x＋my＝0，过定点B的动直线是mx－y－m＋3＝0，则过点A和点B的直线方程是________.

答案　y＝3x

解析　易知直线x＋my＝0过定点A(0,0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)，则过点A(0,0)和点B(1,3)的直线方程是y＝3x.

7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.

答案　3

解析　直线AB的方程为＋＝1，P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3，即xy的最大值是3.

8．一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1,6)，则入射光线所在的直线方程为________，反射光线所在的直线方程为____________.

答案　y＝2x－4　y＝－2x＋4

解析　∵点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，

∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴对称点B′(－1，－6)，

由两点式可得直线AB′的方程为＝，

即y＝2x－4.

∴入射光线所在的直线方程为y＝2x－4，反射光线所在的直线方程为y＝－2x＋4.

三、解答题

9．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程．

解　(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，

BC边的中点为N，

因为M在y轴上，所以＝0得x0＝－5.

又因为N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3.

即C(－5，－3)．

(2)由(1)可得M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即y＝x－.

B级：“四能”提升训练

直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；

(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．

解　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，a＋b＋＝12，

又因为直线l过点P，

所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，

解得或

所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1.

(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，

得a2－6a＋8＝0，

解得或

所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1.