人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案及答案，共13页。

2.3.1　两条直线的交点坐标
2.3.2　两点间的距离公式




知识点一　直线的交点与直线的方程组解的关系
1．两直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A

2．两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
知识点二　两点间的距离公式
已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ .特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ .

1．两条直线相交的条件
(1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．
(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
2．两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|；
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
3．判断两直线关系的方法
(1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题．
(2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系．
(3)利用一般式中系数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1.
②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
③l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1.
4．过两直线交点的直线系方程
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)．
5．对称问题
(1)中心对称
①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．
(2)轴对称
①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由得出．对称点坐标x2＝x1－2A·，
y2＝y1－2B·.
②直线关于直线对称
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出l2的方程．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．(　　)
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　)
(3)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)若点A(1，b)是直线2x＋3y＋1＝0上一点，则b＝________.
(2)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a＋b＝________.
(3)点M(－3,4)到坐标原点的距离|OM|＝________.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(4)求下列两点间的距离：
①A(2,0)，B(0,8)；②A(1,3)，B(－2,1)；
③A(5,0)，B(－1,0)；④A(a,3)，B(a，－3)．
答案　(1)－1　(2)－2　(3)5　(4)①2　②　③6　④6



题型一 直线的交点问题
例1　(1)求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解]　(1)解方程组得
所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
(2)解法一：解方程组得P(0,2)．
∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，
∴直线l的斜率为－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)．
即4x＋3y－6＝0.
解法二：设所求直线l的方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0，即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
∵直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直，
∴－×＝－1，解得λ＝11.
∴直线l的方程为x－2y＋4＋11(x＋y－2)＝0，
即4x＋3y－6＝0.

求过两条直线交点的直线方程的两种方法
(1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷．
[跟踪训练1]　已知直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点为P.求：
(1)交点P的坐标；
(2)过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程；
(3)过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程．
解　(1)由解得所以点P的坐标是(－2,2)．
(2)因为所求直线与l3平行，
所以可设所求直线的方程为x－2y＋m＝0.
把点P的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m＝0，解得m＝6.
故所求直线的方程为x－2y＋6＝0.
(3)因为所求直线与l3垂直，
所以可设所求直线的方程为2x＋y＋n＝0.
把点P的坐标代入上述方程，得2×(－2)＋2＋n＝0，解得n＝2，
故所求直线的方程为2x＋y＋2＝0.
题型二 两点间距离公式的应用
例2　已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7,0)，B(2，－3)，C(5,6)，D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．
[解]　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3，
∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．
又kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形，
∵|AB|＝＝3，
|AD|＝＝3，
∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形，
故四边形ABCD为正方形．
[条件探究]　将本例中D点坐标改为(0,21)，则此四边形又为哪种四边形？
解　∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3，
∴AD∥BC，|AB|≠|CD|且AB⊥AD.
∴四边形ABCD为直角梯形．


判断四边形与三角形形状的方法
(1)判断四边形的形状的方法是：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形．
(2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用．
[跟踪训练2]　已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
(2)求BC边上的中线AM的长．
解　(1)解法一：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
解法二：∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)设点M的坐标为(x，y)，∵点M为BC的中点，∴x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，∴BC边上的中线AM的长为.
题型三 过定点的直线系问题
例3　求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点．
[证明]　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．
证法二：将已知方程以m为未知数整理，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.
由m取值的任意性，得解得
所以所给直线不论m取什么实数，都经过定点(9，－4)．

解含有参数的直线恒过定点的问题
方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
[跟踪训练3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
解　(1)证法一：将直线l的方程整理为
y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.
而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，必有即
即l过定点A.以下同证法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需使直线l斜率大于等于3即可，即a≥3.
题型四 对称问题
例4　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
[解]　(1)设A′(x，y)，则
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．
设该对称点为M′(a，b)，则

解得M′.
设m与l的交点为N，
则由得N(4,3)．
∴m′经过点N(4,3)．
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，且点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.

光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组
求得．
(2)常用对称的特例
①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；
⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．
[跟踪训练4]　如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．

解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得
解得
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，

又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等．
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组
解得
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为
y＝3.
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.



1．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过点(　　)
A． B．(－2,1)
C．(2,1) D．
答案　B
解析　直线变形为(x＋2)m－(y－1)＝0，∴直线过定点(－2,1)．
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．1 B．3
C．－5 D．1或－5
答案　D
解析　由两点间距离公式得 ＝5，即(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5.
3．(多选)平面上三条直线x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值为(　　)
A．0 B．－2
C．－1 D．1
答案　ABC
解析　设l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如图，l1与l2交于点A(2,2)，显然l3恒过坐标原点，当l3∥l2时，符合题意，此时k＝0；当l3∥l1时，符合题意，此时k＝－2；当l3过点A(2,2)时，符合题意，此时k＝－1.当k≠0，－2，－1时，三条直线将平面分成7个部分，综上可知，k可能的取值为0，－2，－1.故选ABC.

4．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是________.
答案　(2,3)
解析　由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程
解得即点N的坐标为(2,3)．
5．直线y＝kx＋3与直线y＝x－5的交点在直线y＝x上，求k的值．
解　由题意可知，三条直线y＝kx＋3，y＝x－5，y＝x交于一点．显然k≠1，由得x＝y＝，代入y＝x－5，得＝·－5，得k＝.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点(　　)
A．(1，－3) B．(4,3)
C．(3,1) D．(2,3)
答案　C
解析　将直线方程整理得2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由得则直线过定点(3,1)，故选C.
2．已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0
答案　A
解析　设P(x，y)为直线l上的任意一点，则点P关于直线x＝1对称的点为P′(2－x，y)，将(2－x，y)代入2x－3y＋4＝0，可得2(2－x)－3y＋4＝0，化简为2x＋3y－8＝0，故选A.
3．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和C，a>0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
答案　C
解析　由已知得|AB|＝2a，|AC|＝ ＝a，|BC|＝ ＝a，∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形．
4．点P在直线l：x－y－1＝0上运动，已知A(4,1)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　)
A. B．
C．3 D．4
答案　C
解析　易知点A，B在直线l的同侧，设A(4,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为A′(x，y)，则
解得
∴A′(2,3)，∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，
最小值为|A′B|＝＝3.故选C.
5．(多选)若三条直线l1：4x＋y＋4＝0，l2：mx＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成三角形， 则m的取值可能为(　　)
A．1 B．－1
C．4 D．－4
答案　ABC
解析　当l1∥l2或l2∥l3时不能构成三角形， 此时对应的m值分别为m＝4，m＝－1.
当直线l1，l2，l3经过同一点时，也不能构成三角形．
由得
代入l2的方程得－m＋1＝0，即m＝1.
综上知m＝4，－1,1，故应选ABC.
二、填空题
6．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________________.
答案　2x＋y－4＝0
解析　联立得解得
∴两直线交点为(0,4)，又斜率为－2，
∴所求直线方程为y－4＝－2x，即2x＋y－4＝0.
7．直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________.
答案　
解析　由解得即两直线的交点坐标为.又交点在第四象限，则解得－ 8．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)是△ABC的三个顶点，则△ABC的形状是________________，△ABC高线的交点坐标为____________.
答案　等腰三角形　
解析　|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
所以|AC|＝|BC|≠|AB|，所以△ABC为等腰三角形．
直线AC的方程为y＝(x－5)，即y＝－x＋，则AC边上的高线方程为y－4＝2(x－3)，即y＝2x－2.
直线BC的方程为y＝(x－5)，即y＝－2x＋10，则BC边上的高线方程为y－2＝(x－1)，即y＝x＋.
联立
得△ABC高线的交点坐标为.
三、解答题
9．求经过两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
解　由得
∴直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为(3，－2)．
①当所求直线经过原点时，满足条件，
方程设为y＝kx，可得3k＝－2，解得k＝－，
此时直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0.
②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x＋y＝a，可得3－2＝a，解得a＝1，此时直线方程为x＋y－1＝0.
综上所述，所求的直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.
B级：“四能”提升训练
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
解　如图所示，由已知，得点A应是BC边上的高所在的直线与∠A的平分线所在直线的交点．

由得
故A(－1,0)．
又∠A的平分线所在直线为y＝0，
故kAC＝－kAB＝－＝－1，
∴AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，
∴BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)，
由解得
故点C的坐标为(5，－6)．