高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆导学案及答案，共15页。学案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆标准方程的应用，椭圆的焦点三角形问题等内容，欢迎下载使用。

第三章　圆锥曲线的方程
3．1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程




知识点一　椭圆
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半称为半焦距．
(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．
知识点二　椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


焦距
|F1F2|＝2c
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的
关系
a2＝b2＋c2

1．椭圆定义的应用
(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．
(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．
2．椭圆标准方程的两种应用
由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)．
(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标．
(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程＋＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化．
3．求椭圆标准方程的常用方法
(1)关键量代入法；
(2)待定系数法；
(3)定义法；
(4)相关点法．
4．椭圆的焦点三角形问题
解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为__________.
(3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝________，b＝________，c＝________.
(4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________.
答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6



题型一 椭圆的定义
例1　(1)已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(x≠±3) B．＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
[解析]　(1)若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.
(2)∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．
[答案]　(1)C　(2)A

1．对椭圆定义的三点说明
(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．
2．椭圆定义的两个应用
(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．
(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.
[跟踪训练1]　(1)下列说法中正确的是(　　)
A．到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D．到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
答案　C
解析　A中，|F1F2|＝8，故到点F1，F2的距离之和为8的点的轨迹是线段F1F2；B中，到点F1，F2的距离之和为6的点的轨迹不存在；C中，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆；D中，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(2)已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．

解　设圆P的半径为r.
又圆P过点B，∴|PB|＝r.
又圆P与圆A内切，圆A的半径为10.
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
即点P的轨迹方程为＋＝1.
题型二 椭圆的标准方程
例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,3)；
(2)a＝8，c＝6；
(3)经过两点P1，P2.
[解]　(1)由题意，得2a＝＋＝12，
得a＝6.
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.
∴所求的椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64－36＝28.
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意知解得
∵a2＝<＝b2，∴焦点在x轴上的椭圆不存在．
②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[解法探究]　本例(1)(3)有没有其他解法呢？
解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得得
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
(3)设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意得解得
∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1.

求椭圆标准方程的方法
(1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程．
(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．
当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点间的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a，b，c，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
①设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．
②求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
[跟踪训练2]　(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0 答案　x2＋＝1
解析　设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.因为AF2⊥x轴，所以点A的坐标为(c，b2)，设点B的坐标为(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
即解得
代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，
所以椭圆方程为x2＋＝1.
(2)求过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程．
解　∵c2＝9－4＝5，焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝15，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
题型三 椭圆标准方程的应用
例3　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．－9 C.
[解析]　依题意可得
解得 [答案]　C
[条件探究]　若将本例条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
解　依题意可得
解得－9 [结论探究]　如果把本例的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？
解　由题意得c2＝(m＋9)－(16－m)＝2m－7，
所以c＝，又 所以焦距2c∈(0,10)．

方程＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
[跟踪训练3]　(1)“3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由方程＋＝1表示的曲线是椭圆，可得解得3 (2)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，求实数m的值．
解　∵2c＝6，∴c＝3.
当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2 ，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4.
当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25, a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
综上，实数m的值为4或.
题型四 椭圆的焦点三角形问题
例4　已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解]　由＋＝1可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.
[条件探究]　本例中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？
解　由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°.
∴4＝16－3|PF1||PF2|.∴|PF1||PF2|＝4，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝×4×＝.

1．椭圆中焦点三角形的解题策略
在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式：
(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式．
这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|.
但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．
2．焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos∠F1MF2.
(3)焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1||MF2|·sin∠F1MF2＝b2tan.
[跟踪训练4]　椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________.
答案　120°
解析　∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－4＝6－4＝2.
∵|F1F2|＝2c＝2，∴在△F1PF2中，利用余弦定理可得，
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2的大小为120°.



1．若平面内点M到定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．直线F1F2
C．线段F1F2 D．直线F1F2的垂直平分线
答案　C
解析　|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2.
2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．以上都不对
答案　A
解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得∴椭圆方程为x2＋＝1.故选A.
3．(多选)与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
答案　BCD
解析　设与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆系方程为＋＝1(λ>－16)．对比各选项可知，当λ＝－2时，得＋＝1；当λ＝5时，得＋＝1；当λ＝－9时，得＋＝1.故选BCD.
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案　3
解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则由题意得
由①得r＋2r1r2＋r＝4a2，
由②得r1r2＝18，所以r＋r＋36＝4a2，④
④－③得36＝4a2－4c2，即4b2＝36，所以b2＝9，b＝3.
5．点M(x，y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程．
解　设d是点M到直线x＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P＝，
由此得＝.
将上式两边平方，并化简，得3x2＋4y2＝48，
即点M的轨迹方程为＋＝1.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知点A(－3,0)，B(0,2)在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　由题意得解得m2＝9，n2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．直线
C．射线 D．圆
答案　A
解析　根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线，所以|MP|＝|PF|，所以|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又因为|MO|>|FO|，所以根据椭圆的定义可判断出点P的轨迹是以F，O两点为焦点的椭圆．故选A.
3．方程 ＋＝10化简的结果是(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝2，a＝5.所以b2＝a2－c2＝21，故化简结果为＋＝1.
4．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．
答案　B
解析　设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，即|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4.
5.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)．如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　)

A.，1 B．，1
C．5,3 D．5,4
答案　A
解析　由题意知，a2－b2＝2＝，b2－c2＝2＝，∴a2－c2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝，a＝.
6．(多选)椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标可以是(　　)
A．(0，－3) B．
C．(0,3) D．
答案　AC
解析　记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆与y轴的交点处，∴P(0，3)或(0，－3)．
二、填空题
7．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案　8
解析　如图，由椭圆的定义知，|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________.
答案　
解析　由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，
即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，
∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得
＝＝.
9．已知A，B是椭圆＋＝1与x轴的交点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则＝________.
答案　
解析　设P(x0，y0)，则kAP·kBP＝·＝＝＝－，所以tanαtanβ＝－，
故＝＝＝＝.
三、解答题
10.如图，已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若·＝0.

(1)求椭圆的方程；
(2)求△PF1F2的面积．
解　(1)∵·＝0，
∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝|F1F2|＝c.
又|OP|＝＝5，∴c＝5.
∴椭圆方程为＋＝1.
又P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1，
∴a2＝45或a2＝5.
又a>c，∴a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②
由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20.
B级：“四能”提升训练
1．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解　(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①

在△F1PF2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.②
由①②得|PF1||PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得·<0，
即(－－x，－y)(－x，－y)＝x2＋y2－3<0.
又y2＝1－，所以x2<2，解得－ 所以点P横坐标的取值范围是.
2．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
解　(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1.所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y.
因为点K(x1，y1)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，即2＋＝1，此即为所求点的轨迹方程．