高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案设计

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3.1.2　椭圆的简单几何性质




知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准
方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝(00)的长轴长等于a.(　　)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　)
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
(2)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________.
(3)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)(0,2)，(0，－2)　(3)[－5,5]



题型一 椭圆的简单几何性质
例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[解]　椭圆方程可化为＋＝1.
∵m－＝>0，∴m>，
∴椭圆焦点在x轴上，即
a2＝m，b2＝，c＝ ＝ .
由e＝得 ＝，
∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.

1．用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
2．根据椭圆的几何性质求标准方程
此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
[跟踪训练1]　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；
(2)离心率e＝，焦距为12.
解　(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
题型二 椭圆的离心率问题
例2　直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
[解析]　解法一：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以 e＝.
解法二：如图，由题意得在椭圆中，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b，|BF|＝a.

在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝.故选B.
[答案]　B

求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[跟踪训练2]　(1)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2,2c2－m2＝n2，①
把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2，②
把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，
∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.
又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.
综上可知，此椭圆离心率的取值范围是.故选C.
(2)已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．

解　解法一：由已知可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
c2＝a2－b2，F1(－c,0)，∵PF1⊥F1A，
∴P，即P，
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝－，
∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝＝.
解法二：由解法一知P，又△PF1O∽△BOA，
∴＝，∴＝，即b＝c，
∴a2＝2c2，∴e＝＝.
题型三 直线与椭圆的位置关系
例3　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．
[解]　(1)由已知得a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1，点T的坐标为(2,1)．
(2)由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
由方程组可得
所以P点的坐标为，|PT|2＝m2.
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组
可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选D.
题型五 椭圆中的最值(或范围)问题
例5　已知椭圆E：＋＝1，点P(x，y)是椭圆上一点．
(1)求x2＋y2的最值；
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值．
[解]　(1)解法一：由＋＝1，得y2＝16，
∴x2＋y2＝x2＋16＝16＋.
∵x∈[－5,5]，∴16≤x2＋y2≤25，
∴x2＋y2的最大值为25，最小值为16.
解法二：令θ∈[0,2π]，
得x2＋y2＝25cos2θ＋16sin2θ＝16＋9cos2θ.
又cos2θ∈[0,1]，∴x2＋y2的最大值为25，最小值为16.
(2)如图所示，易知A(5,0)，C(0，4)，不妨设B(5cosθ，4sinθ)在椭圆上且位于第一象限，则00)中的范围问题常用的关系
(1)－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)离心率00)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆C上的动点，△ABF1的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l′，若直线l′与直线l相交于点P，与直线x＝2相交于点Q，求的最小值．
解　(1)由已知，有＝，即a2＝2c2.
∵a2＝b2＋c2，∴b＝c.
设B点的纵坐标为y0(y0≠0)，
则S△ABF1＝(a－c)·|y0|≤(a－c)b＝，
即(b－b)b＝－1.
∴b＝1，a＝.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l：x＝my－1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)．
联立消去x，得
(m2＋2)y2－2my－1＝0，此时Δ＝8(m2＋1)>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
由弦长公式，得
|MN|＝ ·|y1－y2|＝·，
整理得|MN|＝2·.
又yP＝＝，
∴xP＝myP－1＝ .
∴|PQ|＝·|xP－2|＝·.
∴＝＝·
＝≥2，当且仅当＝，即m＝±1时等号成立．
∴当m＝±1，即直线l的斜率为±1时，取得最小值2.



1．椭圆＋＝1与＋＝1(0