人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案及答案，共16页。学案主要包含了双曲线，双曲线的标准方程，双曲线定义的应用，与双曲线有关的轨迹问题，双曲线的实际应用题等内容，欢迎下载使用。

3．2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程




知识点一 双曲线
(1)定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)双曲线的集合描述
设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}.
知识点二 双曲线的标准方程
焦点
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准
方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
坐标
F1(－c,0)；
F2(c,0)
F1(0，－c)；
F2(0，c)
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2

1．双曲线的定义中一定要注意的几点
(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；
(2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形；
(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支．
2．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题
(1)正确判断焦点的位置；
(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值．
3．双曲线的焦点三角形
设双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，P为双曲线上一点，如图所示，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，构成的三角形称为焦点三角形，其中PF1，PF2，F1F2为三角形的三边，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c.解决与焦点三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．若∠F1PF2＝α，则.


1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　　)
(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若双曲线－＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________.
(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________.
(3)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________.
(4)若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________.
答案　(1)4或12　(2)　(3)－＝1或－＝1
(4)(－1，＋∞)



题型一 对双曲线标准方程的认识
例1　若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
[解析]　曲线方程可化为＋＝1，因为θ是第三象限角，则cosθ<0，>0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A.
[答案]　A

双曲线方程的认识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟踪训练1]　若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线
答案　C
解析　原方程可化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
题型二 求双曲线的标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点；
(2)两焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，且过P.
[解]　(1)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵M，N在双曲线上，∴
解得(不符合题意，舍去)．
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
∵M，N在双曲线上，∴
解得即a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
代入点P可得－＝1，①
又a2＋b2＝25，②
由①②联立可得a2＝9，b2＝16，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
[解法探究]　本例(1)有没有其他解法呢？
解　∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵M，N在双曲线上，则有
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＋＝1，即－＝1.

利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c(或m，n)代入所设方程即为所求．
[跟踪训练2]　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解　(1)∵椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1.
题型三 双曲线定义的应用
例3　如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解]　双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
由于c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

双曲线定义的两种应用
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
(2)双曲线中的焦点三角形
双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
①定义：|r1－r2|＝2a.
②余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cosθ.
③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sinθ.
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
[跟踪训练3]　(1)已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．
解　由双曲线方程－＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
题型四 与双曲线有关的轨迹问题
例4　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．并指出表示什么曲线．

[解]　如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(2，0)．

由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∵2sinA＋sinC＝2sinB，
∴2a＋c＝2b，即b－a＝.
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2 ∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
故C点的轨迹为双曲线右支且除去点(，0)．

用定义法求轨迹方程的一般步骤
(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．
(2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)．
(3)写出标准方程并下结论(定论)．
[跟踪训练4]　如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心为F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心为F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，
|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10，
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝ ，c＝5，∴b2＝，
∴点M的轨迹方程为x2－y2＝1.
题型五 双曲线的实际应用题
例5　某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．

[解]　灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样长．依题意，知界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．
因为|AB|＝＝50>50，
所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．

设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为a＝25，c＝25，
所以b2＝c2－a2＝3750.
故双曲线的标准方程为－＝1.
注意到点C的坐标为(25，60)，
故y的最大值为60，此时x＝35.
故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，0≤y≤60)．

解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中．本题由题意能得到所求界线是以A，B为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|，故所求界线为双曲线的右支．由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程．此题极易忽略x和y的取值范围．因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围．
[跟踪训练5]　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a 万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少．

解　以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图)．根据题意，得C(3，)．

因为|MA|－|MB|＝2<|AB|，所以点M的轨迹是双曲线x2－＝1的右支．
总费用为a|MB|＋a|MC|＝a(|MB|＋|MC|)．
因为|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2
＝2－2，
当M，A，C三点共线时，等号成立，
所以总费用最低为(2－2)a万元．



1．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－5,0)，(5,0)
C．(0，－5)，(0,5) D．(0，－)，(0，)
答案　B
解析　由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．
2．(多选)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有(　　)
A．x2－＝1
B.＋＝1(a<0)
C．y2－3x2＝1
D．x2cosα＋y2sinα＝1
答案　BCD
解析　对于A，焦点显然在x轴上，错误；对于B，∵a<0，∴－＝1，正确；对于C，y2－＝1，正确；对于D，∵<α<π，∴cosα<0，sinα>0，－＝1，正确．故选BCD.
3．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
答案　B
解析　∵A，B在双曲线的右支上，
∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.
∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.
∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.
4．焦点在y轴上，a＝3，c＝5的双曲线方程为________.
答案　－＝1
解析　∵b2＝c2－a2＝52－32＝16，又焦点在y轴上，
∴双曲线方程为－＝1.
5．已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．
解　若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意得2a＝24，2c＝26.
∴a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25.
∴双曲线的方程为－＝1；
若以线段F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系．
则双曲线的方程为－＝1.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知F1(－5,0)，F2 (5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，P点的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
答案　D
解析　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故P点的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故P点的轨迹为一条射线．选D.
2．已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A. B．
C．4 D．
答案　C
解析　因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
3．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)

答案　C
解析　方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，与直线中a>0，b>0矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致，应选C.
4．如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且·＝0，则|＋|＝(　　)

A．4 B．6
C．2 D．4
答案　B
解析　由双曲线方程得a2＝4，b2＝5，c2＝9，
即c＝3，则焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)．
∵点P在双曲线C的右支上，且·＝0，
∴△F1PF2为直角三角形．
则|＋|＝2||＝|F1F2|＝2c＝6.故选B.
5．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　D
解析　如图所示，

因为a＝3，b＝4，c＝5，
所以F1(－5,0)，F2(5,0)，
因为|PN|≥|PF2|－|NF2|，
所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，
又|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|PM|≤|PF1|＋|MF1|，
所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|
＝6＋2＋1＝9.
6．(多选)若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C．x2－＝1 D．x2－y2＝1
答案　AD
解析　不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝，|PF2|＝；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
可以验证，对于选项B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有A，D中的|PF1|，|PF2|，|F1F2|能构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是＋＝1和x2－y2＝1.
二、填空题
7．若双曲线－＝1的右焦点坐标为(3,0)，则m＝________.
答案　6
解析　由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6.
8．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________.
答案　
解析　不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.
9．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|＝6，则E的标准方程是________.
答案　－＝1
解析　如图，由题意得|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，

故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，即a2＝.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝.所以双曲线E的标准方程是－＝1.
三、解答题
10．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．
解　设P的坐标为(x，y)．
∵圆P与圆C外切且过点A，
∴|PC|－|PA|＝4.
∵|AC|＝＝6＞4，
∴点P的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的右支，
∵a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.
∴动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
B级：“四能”提升训练
1．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
2．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
解　如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则

B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地的坐标为(x，y)，
因为kBC＝－，BC中点D(－4，)，
所以直线lPD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4<6，故P在以A，B为焦点的双曲线右支上．
则双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，
所以P的坐标为(8,5)．
因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.