河北省衡水中学2017届高三上学期摸底联考（全国卷）数学（理）试题

河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 若集合，且，则集合可能是（   ）

A．                B．             C．                 D．

2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（   ）

A．第一象限                B．第二象限             C．第三象限              D．第四象限

3. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（   ）

A．                   B．                    C．                 D．

4. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（   ）

A．                    B．                  C．                 D．

5. 已知数列中，为其前项和，的值为（  ）[来源:ZXXK]

A．                  B．                 C．                 D．

6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（   ）

A．                B．                C．                 D．

7.为了得到，只需将作如下变换（   ）

A． 向右平移个单位                   B．向右平移个单位   

 C．向左平移个单位                  D．向右平移个单位

8. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（   ）

A．                 B．             C．                 D．

9. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（   ）[来源:学#科#网]

A．                B．             C．                 D．[来源:Zxxk.Com]

10. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（   ）

A．             B．           C．               D．

11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为

（   ）

A． 个             B．个           C． 个                D． 个

12. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（   ）

A．在上是减函数                B．在上是增函数              C．在上是减函数                   D．在上增减函数

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.  的展开式中项的系数为         ．

14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数         ．

15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高         ．

16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是         ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.

（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）;

（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.

18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且.

（1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;

（2）求二面角的余弦值.

19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.

（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

且的数学期望,求的值;

（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；

（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.

注：① 产品的“性价比”；

②“性价比”大的产品更具可购买性.

20. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标；

(3) 在(2) 的条件下求面积的最大值.

21. （本小题满分12分）已知函数(常数).

（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;

（2）若函数存在两个极值点,证明:.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.

（1）若,求的值;

（2）若,证明:.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:

为参数), 曲线的极坐标方程为:.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;

（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式;

（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.