河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题

2017—2018学年度第一学期高三十模考试

数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 设集合，，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，

B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，

则∁AB={x|x≤1}，

故选：B．

2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（   ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】D

【解析】设z=x+yi，

，

∴

∴在复平面内对应的点位于第四象限

故选：D．

3. 已知中，，，则的值是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】∵，
∴化为．可得：B为锐角，C为钝角．
∴=- = =  ≤=

，当且仅当tanB=时取等号．
∴tanA的最大值是

故选A

点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.

4. 设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意，s=，

∴m==e，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，

任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，

如图所示：

计算阴影部分的面积为

S阴影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．

所求的概率为P=，

故选：C．

5. 函数的图象大致是（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】函数y=是偶函数，排除B．

当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，

当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=是函数的一个极值点，排除C．

故选：D．

6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为，，所以 ，故选D．

7. 已知，，，则，，的大小关系为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题易知：，∴

故选：A

点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...

8. 执行如下程序框图，则输出结果为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意得：

则输出的S=

.

故选：C

9. 如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，

则OM为△ABC的中位线，

于是△OFM∽△AFB，且，

即=可得e==．

故答案为：．

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10. 设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

11. 已知函数，其中为函数的导数，求 （   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意易得：

∴函数的图象关于点中心对称，

∴

由可得

∴为奇函数，

∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，

∴

∴

故选：A

12. 已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：

①；②；③；④.

其中直线的“绝对曲线”的条数为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．

对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；

对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，

所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．

所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；

对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，

得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．

x1+x2=, x1x2=．

若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，

则

化简得．

令f（a）=．

f（1），f（3）．

所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程有根．

而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．

故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．

对于④将y=ax+1﹣a代入.

把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，

则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2）

化为a6-16a2+16a-16=0，
令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．
∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．
故选：C．

点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 已知实数，满足，且，则实数的取值范围_______．

【答案】

【解析】如图，作出可行域：

，

表示可行域上的动点与定点连线的斜率，

显然最大值为，最小值为

∴

故答案为：

点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

14. 双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为__________．

【答案】

【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，

由I为△PF1F2的内心，可得

=2，

则|QF1|=m，

若|F1Q|=|PF2|=m，

又PQ为∠F1PF2的角平分线，

可得，

则n=4c﹣m，

又m﹣n=2a，n=m，

解得m=4a，n=2a，

=2，即c=a，

则e==．

故答案为：．

15. 若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是________．

【答案】

【解析】由可得：

∴

在方向上投影为

故最大值为：

16. 观察下列各式：

；

；

；

；

……

若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为__________．

【答案】

【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，

设第n个式子的第一个数为an，则有a2﹣a1=3﹣1=2，

a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），

以上（n﹣1）个式子相加可得an﹣a1=，

故an=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，

故可知2017在第45个式子，

故答案为：45

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

17. 已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.

试题解析：

（1）由题意可得即

又因为，所以所以.

（2）因为，所以

.

因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.

又（当且仅当时取等号）.

所以，即实数的取值范围是.

18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：

（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.

（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.

（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）

【答案】(1)240人(2)见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；

（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；

（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．

试题解析：

（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.

∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.

（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，.

由题意可得 ；

；

；

；

.

所以随机变量的分布列为

∴均值 .

（3）由折线图可得.

19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于.

（1）试判定点的位置，并加以证明；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1) 为的中点，见解析(2)

【解析】试题分析：（1）由平面得到，结合为的中点，即可得到答案；

（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

试题解析：

（1）为的中点，证明如下：

连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点.

（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.

易知，，，，，，

则，.

显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，

则，即，取，

则，

所以 ，

所以二面角的余弦值为.

点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．

(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

20. 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③.

（1）求顶点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，.

①求四边形的面积的最小值；

②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点.

【解析】试题分析：（1）由可得为的重心，设，则，再由，可得为的外心，在轴上，再由∥，可得，结合即可求得顶点的轨迹的方程；（2）恰为的右焦点．当直线，的斜率存在且不为0时，设直线的方程为．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的纵坐标得到和与积．①根据焦半径公式得、，代入四边形面积公式，再由基本不等式求得四边形面积的最小值；②根据中点坐标公式得的坐标，得到直线的方程，化简整理令解得值，可得直线恒过定点；当直线，有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线即为轴，过点（.

试题解析：（1）∵

∴由①知

∴为的重心

设，则，由②知是的外心

∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．

（2）解：恰为的右焦点，

①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，

由，

设则，

①根据焦半径公式得，

又，

所以，同理，

则，

当，即时取等号．

②根据中点坐标公式得，同理可求得，

则直线的斜率为，

∴直线的方程为，

整理化简得，

令，解得

∴直线恒过定点，

②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，

综上，的最小值的，直线恒过定点．

点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.

21. 已知函数.

（1）当，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）已知，，均为正实数，且，求证 .

【答案】(1) (2) (3)见解析

【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；

（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，构造=（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；

（3）由（2）知，当a=﹣1时，在（0，1）上单调递增，证明 ，即 从而可得结论．

试题解析：

（1）当时，则，

则，

∴函数的图象在时的切线方程为.

（2）∵函数在上单调递增，∴在上无解，

当时，在上无解满足，

当时，只需，∴①

，

∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，

即在上恒成立.

设 ，

∵，∴，则在上单调递增，

∴在上的值域为.

∴在上恒成立，则②

综合①②得实数的取值范围为.

（3）由（2）知，当时，在上单调递增，

于是当时， ，

当时， ，

∴ ，即 ，

同理有 ， ，

三式相加得 .

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求出C3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．

试题解析：

（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.

曲线：，∴，故的普通方程为.

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为 .

当时，有最小值，所以的最小值为.

23. [选修4-5：不等式选讲]

已知.

（1）当时，解不等式.

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；

（2）不等式对恒成立，即求的最小值，结合函数的单调性即可.

试题解析：

（1）当时，等式，即，

等价于或或，

解得或，

所以原不等式的解集为；

（2）设 ，则，

则在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取最小值且最小值为，

∴，解得，∴实数的取值范围为.

点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法

可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．

①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．