2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期末考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期末考试数学试题 一、单选题1．设集合，集合，若，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由求解即可.【详解】由可得.故选：D.2．已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）. 考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（  ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可．【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，故正确的是①④，故选：B．4．菱形的边长为2，且，（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据向量数量积计算公式可得.【详解】菱形的边长为2，且，的夹角为，.故选：C.5．已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得，求出，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，可求出，由直线是该函数图象的一条对称轴，可得，从而线结合已知条件可求出，进而可求得函数的解析式【详解】因为函数的最大值为4，最小值为0，所以，解得，因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，所以，所以，所以，得，所以，因为直线是该函数图象的一条对称轴，所以，得，因为，所以，所以，故选：B6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.【详解】设，易知定义域为R,关于原点对称，因为，所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.当时，，当时，，因此排除选项D，故选：A7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论中正确的是  A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个相交平面内的直线也可以平行，所以B不正确；垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确.【解析】空间直线、平面间的位置关系.【详解】请在此输入详解！8．袋子中有四个小球，分别写有“文､明､中､国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文､明､中､国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，故选：A 二、多选题9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（    ）A．复数的模为 B．复数的共轭复数为C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABC【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几何意义求解即可.【详解】，，，z的虚部为，故选ABC．10．已知定义在R上的偶函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是（    ）A．4是函数的一个周期B．直线，是函数的一条对称轴C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上有26个零点【答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性和条件，得到，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．【详解】偶函数，满足，令得，即，得，则，即函数是周期为4的周期函数，故A正确；是偶函数，图像关于y轴即对称，函数的周期是4，，是函数图像的一条对称轴，故B正确；在区间上是增函数，在区间上是减函数，结合周期性易知在区间上是减函数，故C错误；，在区间上是减函数，在区间上是增函数，即函数在内只有-2,2这两个零点，结合周期性可知函数在内有26个零点，故D正确.故选：ABD.11．如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（    ）A．直线与直线是相交直线B．直线与直线所成角不随着E点位置的变化而变化C．三角形可能是钝角三角形D．三棱锥的体积随着E点位置的变化而变化【答案】AB【分析】证明中点与EF中点重合判断A；证明平面判断B；设，计算，借助余弦定理判断C；过EF中点及AC的平面截三棱锥为两个等体积的三棱锥计算判断D作答.【详解】在正四棱柱中，令，连，如图，在矩形中，，而，分别是中点，则，同理，即O是的中点，在矩形中，与互相平分，即线段EF与的中点重合，所以直线与直线是相交直线，A正确；因，，平面，则平面，而平面，于是得，即直线与直线所成角为，B正确；令，则，设，则，因此，，因，，，即都不是钝角，C不正确；连CO，由正四棱柱的结构特征知，点E，F到平面的距离恒为，三棱锥的体积，而是确定的三角形，面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，D不正确.故选：AB【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形.12．已知函数，则 （    ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递减D．可以改写成【答案】BC【分析】将函数解析式变形为，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；由余弦型函数的对称性可判断B选项；利用余弦型函数的单调性可判断C选项；利用诱导公式可判断D选项.【详解】因为.对于A选项，函数的最小正周期为，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减，C对；对于D选项，，D错.故选：BC. 三、填空题13．已知函数为奇函数，，若当时，，则______．【答案】【分析】得到是以周期为的周期函数，再根据为奇函数且时，求解.【详解】解：因为，即是以周期为的周期函数．为奇函数且当时，， ，当时，，所以，故答案为：14．命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．【答案】【分析】根据命题为真可转化为方程有2个不等实根，利用判别式求解即可.【详解】因为命题“”为真命题，所以方程有2不等实根，故，解得或，故答案为：15．已知向量，，，若，则___________.【答案】5【分析】根据数量积的坐标运算，结合向量的夹角公式求解即可【详解】，，即，所以，解得.故答案为：516．如图，斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，，点分别是线段的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________；【答案】【分析】连接，证明，再在中利用余弦定理求解作答.【详解】在斜三棱柱中，连接，如图，因点分别是对边的中点，则，，则有四边形是平行四边形，，是异面直线和所成的角或其补角，因,且，则都是正三角形，于是得，在正中，，在中由余弦定理得：，所以异面直线和所成角的余弦值为.故答案为： 四、解答题17．已知的内角、、的对边分别为、、，设，且．(1)求及；(2)若，求边上的高．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式可求得边上的高．【详解】（1）解：由及正弦定理可得，因为，则，所以，，因为，，所以，，则，所以，.（2）解：由（1）知，，．由余弦定理得即，所以．设边上的高为，所以，．因为，即，解得，即边上的高为．18．在平面直角坐标系中，已知点．(1)若，求的值；(2)若，设实数满足，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用共线向量定理的坐标形式即可求解（2）利用向量垂直的充要条件的坐标形式即可求解【详解】（1）因为，，所以，（2）若，则，19．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)与的长；(3)此三棱柱的表面积．【答案】(1)；(2)；；(3) 【分析】（1）先确定该三棱柱的侧面展开图的形状，再求其面积即可；（2）利用平面内两点之间线段最短列方程即可求得的长，利用三角形相似比即可求得的长；（3）利用棱柱全面积求法去求此三棱柱的表面积即可解决．【详解】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为．（2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线．设，即，在Rt中，由勾股定理得，解得，或（舍）所以，又因为，所以．（3）此三棱柱的表面积．20．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】(1)人(2)平均数为，中位数为(3) 【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取；（2）利用平均数和中位数公式求解；（3）法一，分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解；法二：利用对立事件的概率求解.【详解】（1）解：由，得，因为（人），（人）．所以不高于50分的抽（人）；（2）平均数．因为在内共有80人，则中位数位于内，则中位数为；（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．21．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性，并证明；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3)或 【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，此时，，所以为奇函数，故.（2）由（1）知，为上的增函数，证明：任取，且，则，因为，所以，即，又，所以，即，根据增函数的定义可得为上的增函数.（3）由得，因为为奇函数，所以，因为为增函数，所以，即，所以或.22．如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形.，F为CD的中点.(1)证明：平面BCE；(2)证明：平面平面CDE；(3)求直线AD和平面BCE所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）取CE中点M，连结MF，BM，先利用线面垂直的性质定理证得，从而证得四边形ABMF是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可证得结论.（2）先利用线面垂直的性质定理证得，然后利用面面垂直的判定定理即可证得结论.（3）取线段DE的中点P，连接BP，先证得直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，然后解三角形即可求解.【详解】（1）取CE中点M，连结MF，BM，MF是的中位线，∴，，∵平面ACD，平面ACD，∴，又，∴，，∴四边形ABMF是平行四边形，∴，∵平面BCE，平面BCE，∴平面BCE；（2）∵平面ACD，平面ACD，∴，∴四边形ABMF是矩形，∴.∵是正三角形，F是CD中点，∴.∵，∴，∵，平面CDE，平面CDE，∴平面CDE，∵平面BCE，∴平面平面CDE；（3）取线段DE的中点P，连接BP，∵且，∴四边形ABPD是平行四边形，∴，则直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，过点P作，垂足为N，连结BN，由（2）知平面平面CDE，又平面平面，∴平面BCE，∴为直线BP和平面BCE所成角的平面角.设，则，∵平面ACD，∴，∵，∴，∵，，∴，∵四边形ABPD为平行四边形，∴，∴，故直线AD和平面BCE所成的角正弦值为.