2021-2022学年河南省平顶山市九校联盟（第二高级中学等）高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省平顶山市九校联盟（第二高级中学等）高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】∵集合，，∴.

故选：D

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据“全称量词命题的否定是存在量词命题”进行否定.

【详解】对于全称量词命题“，”，其否定为存在量词命题“，”，

因此，命题“，”的否定为“，”，

故选：C.

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解．

【详解】由题意有，解得且，

所以定义域是．

故选：A．

4．已知，a，b，，则下列不等式成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用举实例判断ABC，根据不等式性质可判断D．

【详解】对于A，当，时，满足，但， 所以A错误，

对于B，当，时，满足，但，所以B错误，

对于C，当，时，满足，但， 所以C错误，

对于D，因为时，又，则成立，所以D正确，

故选：D．

5．下列各组函数中表示同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】函数的三个要素中只要有一个不同，则判定两个函数为不同函数；判断两个函数相同，只需定义域与解析式相同.

【详解】A中定义域为，定义域为，且与的解析式不同，为不同函数；

B中与定义域、解析式相同，为同一函数；

C中定义域为，定义域为，为不同函数；

D中，，解析式、值域不同，为不同函数.

故选：B.

6．已知函数是幂函数，则实数m的取值为（    ）

A．1 B．0或2 C．1或2 D．无解

【答案】B

【分析】由幂函数定义求解即可

【详解】由幂函数定义知，

解得或2．

故选：B

7．已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】使用基本不等式，将“1”进行代换求解，求解时需注意基本不等式取等条件.

【详解】由已知，

∵，，

∴，，

∴，当且仅当，即且时取等号，

∴，

即当且仅当且时，的最小值为.

故选：D.

8．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.

【详解】因为，定义域为R

所以该函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，因此排除B、D，

又因为当时，，所以排除A，

故选：C

9．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解一元二次不等式得到解集，比较两个集合的关系，再得出结果.

【详解】由，解得：.

设，，则是的真子集.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

10．已知函数，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解

【详解】，，

故，故函数值域为.

故选：B

11．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由题意可知，在上为增函数，则，

函数在上为增函数，则，

故，解得.

故选：C

12．已知函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由单调性的定义可知函数在上单调递增，对分类讨论即可求解.

【详解】由且得：，

构造函数，即有，

由单调性的定义可知：在上单调递增，

①当时，，满足在上单调递增；

②当时，二次函数的对称轴为，

所以函数在上单调递增，满足题意，

③当时，要使在上单调递增，则有，

解得：.

综上：.

故选：B

二、填空题

13．若，，且，则实数a的值为______.

【答案】或0

【分析】由可得，分类讨论结合集合元素的互异性求解即可．

【详解】由可得，

当时，则（舍去）或；

当时，则（舍去）或0；

综上可得或．

故答案为：或0．

14．若命题，是真命题，则实数a的取值范围为______.

【答案】

【分析】依题意可得二次函数与轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.

【详解】已知命题，是真命题，

则二次函数图像与轴有交点，所以，

解得或.

所以实数a的取值范围为.

故答案为：.

15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则______.

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性的定义即可求解.

【详解】，由于函数是定义在上的奇函数，所以.

故答案为：

16．函数，，对，，使，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】求出函数的值域列出关于的不等式即可.

【详解】，，，

由题意可知：，所以，又因为

所以， a的取值范围是

故答案为：

三、解答题

17．已知，．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】或

【分析】解出中的不等式，分、、三种情况讨论，解出中的不等式，根据题意可得出集合的包含关系，综合可得出实数的取值范围.

【详解】解：解不等式，即，解得.

不等式即为.

①当时，不等式的解集为，不合乎题意；

②当时，不等式的解集为，

因为是的充分不必要条件，则，

所以，，解得，

且当时，，合乎题意，此时；

③当时，不等式的解集为，

因为是的充分不必要条件，则，

所以，，解得，

且当时，，合乎题意，此时.

综上所述，实数的取值范围是或.

18．已知集合，．

(1)求；

(2)若集合，，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式，求集合A、B，运用集合交集运算求；

（2）根据交集为空集，结合（1）中所求，列出对应的不等式，求解即可．

【详解】（1），，

；

（2），，

，有或，

解得或，即的取值范围是．

19．已知二次函数的最大值为2，且.

(1)求的解析式；

(2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由题可设二次函数的顶点式方程，根据即可求出所设解析式的参数；

(2)求出二次函数的对称轴，根据题意可得不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）∵二次函数的最大值为2，且，

∴对称轴方程为，

设，

∵，

∴，

∴.

（2）要使在区间上不单调，

则，解得，

故实数m的取值范围为.

20．如图，设矩形的周长为8，将△沿AC向△折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值.

【答案】时，最大值为.

【分析】根据题意，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果.

【详解】由题意，矩形的周长为8，且，

∴，则，∴，

又由，

在中，，

解得，

∴

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴面积的最大值为，此时.

21．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并证明；

(3)求使成立的实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得b的值，又由可得a的值，将a、b的值代入函数的解析式即可得答案；

（2）设，用作差法分析可得，由函数单调性的定义即可得证明；

（3）由奇函数的性质可以将变形为，结合函数的定义域与单调性可得m的取值范围．

【详解】（1）根据题意，是奇函数，则有，

则有，解得；

.

，，解得，

；

（2）在上为增函数；

证明如下：设，

则，

，

，，，，

则有，即.

在上为增函数；

（3），，

又是定义在上的奇函数，，

则有，

解得，即实数的取值范围为

22．已知．

(1)若时，的值域是，求实数a的值；

(2)设关于x的方程的两个实根为，；试问：是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由二次函数的对称轴判断其在时的单调性，求得最小值为0，即可解出实数a的值.

（2）先根据关于x的方程由韦达定理表示出的值，根据恒成立问题的性质判断需由求出其最大值，使原不等式等价转化为，再根据m的正负分类讨论，将t进行分离，同样根据恒成立问题的性质将t的最值分别代入，求解关于m的不等式即可.

【详解】（1）的对称轴为，

所以在上单调递增，

故当时，

所以.

（2）方程等价于

则，

所以

当时，，

即

故不等式对任意恒成立，

等价于

当时，原不等式显然不成立；

当时，原不等式等价于对任意的恒成立，

即，解得；

当时，原不等式等价于对任意的恒成立，

即，解得.

综上：存在实数m的取值范围为使不等式对任意及恒成立.