2021-2022学年河南省信阳高级中学高一下学期检测（三）数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省信阳高级中学高一下学期检测（三）数学试题

一、单选题

1．已知直线不共面，那么与在平面上的投影不可能是（    ）

A．两条平行线 B．两条相交直线

C．一直线一个点（点不在直线上） D．两个点

【答案】D

【分析】利用长方体中的线段，可得A、B、C的正误，根据线面垂直的性质，可得D的正误.

【详解】由题意，可作下图：

对于A，异面直线与在平面上的投影分别是与，显然；

对于B，异面直线与在平面上的投影分别是与，显然；

对于C，异面直线与在平面上的投影分别为与点，显然；

对于D，投影为点，说明两条直线垂直于同一平面，而这两条直线平行，

故选：D.

2．若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】给两边同除，然后根据复数的除法运算求出，再求出

根据复数的模运算求解即可.

【详解】因为

所以

所以

所以

故的模长为

故选：D

3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件可求出，然后根据投影向量的求法即可得出向量在向量上的投影向量．

【详解】向量，

，

向量在向量上的投影向量为：．

故选：B

4．欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】直接代入给定的公式即可求解.

【详解】由题知，，

，

，，

在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

5．如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为是线段的靠近的三等分点，所以，

又是线段的中点，所以，

所以．

故选：A．

6．设，为平面内任意两个非零向量,则下列不正确的是（    ）

A．的充要条件是存在唯一实数λ，使得

B．⊥的充要条件是

C．的充要条件是

D．的充要条件是

【答案】C

【分析】根据向量的概念及运算，判断选项正误.

【详解】两个非零向量，，的充要条件是存在唯一实数，使，A正确；

，则，即，B正确；

当与共线，但是方向相反时，，C错误；

设两个非零向量，夹角为，，即，或，即，D正确.

故选：C.

7．纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”.在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛(如图)，据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状.这种蜘蛛十分罕见，只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到.现用视角为的摄像头(注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（    ）

A．50米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】由题意要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，即拍摄区域的圆的直径最小为，应用余弦定理求圆锥母线长，根据圆锥的高、母线、底面半径的关系求高即可.

【详解】由题设知：要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小为，若所成圆锥的母线长为a，

∴由余弦定理知：，即，

∴该摄像头距地面的高度最小值米.

故选：B.

8．已知复数，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算，再根据复数的运算法则计算代数式的值.

【详解】由题，则，

所以.

故选：D.

9．下列有五个命题：①若直线a平面，a平面，则am；②若直线a平面，则a与平面内任何直线都平行；③若直线α平面，平面平面β，则α平面β；④如果ab，a平面，那么b平面；⑤对于异面直线a、b存在唯一一对平面、β使得a⊂平面， b⊂平面β，且β.其中正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据空间中直线，平面间的位置关系判断命题正误.

【详解】对于①，直线平面，直线平面，，过a作平面交平面于c，作平面交平面于d，则，，所以，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，①正确；

对于②，直线平面，则直线与平面内的直线平行或异面，所以②错误；

对于③，直线平面，平面平面，可能平面，所以③错误；

对于④，，直线平面，可能平面，所以④错误；

对于⑤，一对异面直线a，b，过a作与b平行的平面，过b作与a平行的平面，使得，所以⑤正确；

故选：C.

10．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ）

A．多面体有12个顶点，14个面

B．多面体的表面积为3

C．多面体的体积为

D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）

【答案】B

【分析】由题得该多面体的各顶点为正方体每条棱的中点，判断选项正误.

【详解】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点，

该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确；

多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为，

所以多面体表面积为，B项错误；

将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为，

所以多面体体积，C项正确；

原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为，

所以以该点为球心，为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确；

故选：B.

11．已知平面向量，，，，那么（    ）

A． B．

C． D．与夹角等于

【答案】C

【分析】由题意可知：点在以为圆心，半径为1的圆上，点为弦的中点，且，结合圆的性质逐项分析判断.

【详解】∵，则，

∴点在以为圆心，半径为1的圆上，点为的中点，如图所示：

对A：当点关于x轴对称或重合时，，A错误；

对B：与不一定垂直，故数量积不一定为0，B错误；

对C：由垂径定理可得，则，且当点重合，即时也成立，C正确；

对D：∵由圆的性质可得与夹角，但题中没有明确的范围以及大小关系，故与夹角等于不一定成立，D错误.

故选：C.

12．正棱锥有以下四个命题: ①所有棱长都相等的三棱锥的外接球、内切球、棱切球（六条棱均与球相切）体积比是；②侧面是全等的等腰三角形顶点在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥；③经过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切球球心；④正六棱锥的侧面不可能是正三角形，其中真命题是（    ）

A． ①④ B．③④ C． ①③④ D． ②③④

【答案】C

【分析】对①：将三棱锥转化为正方体，结合正方体求三棱锥的外接球、内切球、棱切球的半径，即可得结果；对②③④：根据正棱锥的定义与性质分析判断.

【详解】对①：如图，将三棱锥转化为正方体，设正方体的的边长为，则三棱锥的边长为，

三棱锥的外接球即为正方体的外接球，故半径，

三棱锥的棱切球即为正方体的内切球，故半径，

三棱锥的体积，设三棱锥的内切球的半径为，则有，解得，

故三棱锥的外接球、内切球、棱切球的体积比是，①为假命题；

对②：侧面是全等的等腰三角形顶点在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥，②为真命题；

对③：正五棱锥的内切球的球心在顶点与底面中心的连线上，由对称可得，若平面经过正五棱锥一条侧棱且平分其正五棱锥的表面积，则该平面必过顶点与底面中心的连线，即过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切球球心，③为真命题；

对④：如图所示：为正六棱锥的中心，连接，则平面，且平面，故，

若正六棱锥的侧面是正三角形，则，故，此时不能构成锥体，④为真命题.

故选：C.

二、填空题

13．若复数，则复数的模是________.

【答案】

【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长.

【详解】由题意可得：，

故.

故答案为：.

14．已知复数z满足，那么的取值范围为_________.

【答案】

【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点(0,1)和(0,−1)的线段，根据的几何意义，利用数形结合思想可得出的范围.

【详解】设，由可得

即，表示点到点，的距离之和为2.

又点，之间的距离为2，所以表示z对应的点的轨迹是以，为端点的线段

表示z对应的点与 的距离，

如图在z取时有最小值3，z取或时有最大值，

故取值范围为.

故答案为：

15．已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由平面向量数量积的运算结合已知得出，参变分离根据二次函数值域得到，通过题意得出，即可得出答案.

【详解】为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，

，

，

则，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：.

16．△ABC中，内角A、B、C对应边长为a、b、c下有命题:，那么p是q的________条件.（从“充要条件”、“充分不必要”、“必要不充分”和“既不充分也不必要”中选一个写在横线上）

【答案】充分不必要

【分析】利用正弦定理可化简命题得：；

通过变形可化简命题得：；由此即可求解.

【详解】由题知，对于命题：

由正弦定理可得：，

整理得：，

又，当且仅当时取等号，

；

对于命题：

，

，

在三角形中，都为正数，

；

所以推出，但不能推出，

所以是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件.

三、解答题

17．已知复数.

(1)若z为纯虚数，求m的值；

(2)若复数的实部与虚部之和为14，求m的值.

【答案】(1)5

(2)1

【分析】（1）先将复数进整理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案.

(2)先化简复数，得出实部与虚部，从而求出答案.

【详解】（1）

由z为纯虚数，则，解得（舍去）

（2）

所以，解得

18．，，为平面内不同的三点，，，.

(1)若，，三点共线，求实数的值；

(2)若，的夹角为钝角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，，三点共线，可得，又，利用平面向量共线的坐标表示即可求解；

（2）由题意，，且与不共线，由平面向量共线的坐标表示及平面向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】（1）解：因为，，，

所以，

因为，，三点共线，所以，

所以，解得；

（2）解：因为，的夹角为钝角，

所以，且与不共线，

所以，解得且，

所以实数的取值范围为.

19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知.

(1)求B ；

(2)若△ABC的面积,a= 10，求sin AsinC的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式变形可求得的值，即可求解；

（2）利用面积公式求出，利用余弦定理求出，再用正弦定理即可求解.

【详解】（1）由题知，

，

，,

解得：或（舍去），

，.

（2）△ABC的面积，

，即，

解得：，

由余弦定理得：，

即，

，

由正弦定理知：，

.

20．如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．

(1)求圆锥的侧面积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．

【答案】(1)

(2)当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为

【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.

【详解】（1）圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为．

（2）设圆柱的底面半径为r，

如图可得，即，

得．

所以圆柱的侧面积．

所以当时，S取得最大值．

即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．

21．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1、D1A1的中点.

(1)求证：MN//QS；

(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；

(3)求证：平面ACD1//平面α.

【答案】(1)证明见解析

(2)作法见解析，面积为；

(3)证明见解析

【分析】（1），，，证得；

（2）取、中点、，则为平面被该正方体所截的多边形截面，求截面面积即可；

（3）根据平面与平面平行的判定定理证明即可．

【详解】（1）证明：连接，，，如图，

正方体中，，四边形为平行四边形，则有，

、、、分别是被、、、的中点，

，，．

（2）取、中点、，连接、、、、、，如图，

则正六边形为平面被该正方体所截的多边形截面，

，．

（3），平面，平面，

平面，

又、分别、的中点，，

平面，平面，平面，

又，平面，平面，

平面平面．

22．已知复数，集合，集合，

(1)若使得（为虚单位），求的最小值；

(2)若当时，集合有两个子集．

①求的取值范围；

②求集合中复数对应点形成的复平面区域的面积．

【答案】(1)3

(2)①；②

【分析】（1）计算得，则，讨论的4种情况即可得解；

（2）①满足条件的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆M，满足条件的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆N，根据题意两圆外切，即可求解；②集合中复数对应点形成的复平面区域是以为圆心，以1及3为半径的两个圆所夹的圆环，计算面积即可．

【详解】（1）因为，所以，

当时，；当时，；

当时，；当时，，

由题意，则，

所以的最小值为3；

（2）①满足条件即的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆M，

满足条件的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆N，

因为有两个子集，所以圆M与圆N仅有一个公共点，即两圆外切，

则，即，

令，则，

，

由可知，即，

，；

②因为，所以对应的点在以为圆心，以2为半径的圆上，

所以集合中复数对应点形成的复平面区域是以为圆心，以1及3为半径的两个圆所夹的圆环，其面积为．