2021-2022学年江苏省邳州市宿羊山高级中学高一下学期第一次学情检测数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省邳州市宿羊山高级中学高一下学期第一次学情检测数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则不是共线向量

【答案】C

【分析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；

B. 不一定相等，所以该选项错误；

C. 若，则，所以该选项正确；

D. 若，则也有可能是共线向量，所以该选项错误.

【详解】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；

B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；

C. 若，则，所以该选项正确；

D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.

故选：C

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据诱导公式将变形为，然后根据两角和的余弦公式求解出结果.

【详解】由题意，，

所以原式．

故选：C．

3．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

故

，

，

，

故 ，

由于 ，故，

故选：C

4．如图，已知，，，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可得：，，

则：.

本题选择D选项.

5．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.

【详解】

．故选C．

【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

6．已知，是方程的两根，且，，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.

【详解】由题知，，是方程的两根，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，

据此可得：，

由平面向量数量积的坐标运算法则有：.

本题选择A选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

8．已知函数在时取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即可求解

【详解】因为在时取得最大值，

所以，即，

所以

故选：C

二、多选题

9．下列叙述中错误的是（    ）

A．若，则

B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反

C．若，则

D．对任一非零向量是一个单位向量

【答案】AC

【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.

【详解】对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正确；

对于B：因为与是非零向量，若，则与的方向相同或相反，故选项B正确；

对于C：当时，若，与是任意向量；故选项C不正确；

对于D：对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，所以是的一个单位向量，故选项D正确；

所以叙述中错误的是AC，

故选：AC.

10．已知向量，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．与可以作为基底

C． D．与方向相同

【答案】BD

【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.

【详解】由题意，向量，可得，

所以，所以A正确，B错误；

又由，所以C正确；

因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.

故选：BD.

11．下列说法正确的有（    ）

A．，，使 B．，，有

C．，，使 D．，，有

【答案】ABC

【分析】根据取特值法，易知A， C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B正确．

【详解】取，易知A正确D错误；取，，C正确；

因为

，故B正确，

故选：ABC．

【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．

12．下列四个等式其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案.

【详解】A选项，

所以正确；

B选项，，，所以错误；

C选项，    ，所以错误；

D选项，

所以正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键.

三、填空题

13．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________．

【答案】##

【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.

【详解】因为，是不共线向量，与共线，

所以存在实数使得，所以，

解得：.

故答案为：

14．已知，，则__________．

【答案】

【分析】先将两式平方相加，再由平方关系及两角差的余弦公式求解即可.

【详解】将两式分别平方得，，，再相加得，，则.

故答案为：.

15．函数的最大值是_____.

【答案】

【分析】令，化简函数得到，最大值为1

【详解】令，则.

∴

.∴.

故答案为1

【点睛】本题考查了三角函数的最大值问题，取可以简化运算，是解题的关键.

16．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.

【答案】

【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用计算出两点的坐标，设出点坐标，由此计算出的表达式，，进而求得最值.

【详解】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.

故填：.

【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

四、解答题

17．已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；

（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．

【详解】（1）由已知，得，

；

（2）设与的夹角为，

则，

因此，与的夹角的余弦值为.

18．设向量

（1）若向量 与向量 平行，求 的值；    

（2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值.

【答案】（1）；（2）1或.

【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；

(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.

【详解】（1），  

向量 与向量 平行，

（2）因为 ， ，  

因为 与 互相垂直，所以 ，      

即 ，

，解得 或 .

19．已知，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据诱导公式和同角关系式求出，然后利用倍角公式可得结果；

（2）先把目标式化简，然后转化为含有的式子，代入可求结果.

【详解】（1）（1），，

∴，∴，.

（2）（2）

.

20．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，即可求得周期；

（2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.

【详解】（1），

所以的最小正周期.

（2）∵，∴，

当，即时，.

21．如图，在中，已知AB=2，AC=4，A=60°，D为线段BC中点，E为线段AD中点.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】通过余弦定理求出AC，再根据勾股定理得到AB⊥BC，进而建立平面直角坐标系，通过平面向量数量积的坐标运算求出答案.

【详解】在中，因为AB=2，AC=4，，由余弦定理：，所以，则，如图建立平面直角坐标系，因为D为线段BC中点，E为线段AD中点，所以,,,,.

（1），，所以.

（2），，

所以.

22．如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点，在上，设矩形的面积为．

（1）设，将表示成的函数关系式；

（2）设，将表示成的函数关系式；并求出的最大值．

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）将用加以表示，再利用矩形的面积公式可求得表示成的函数关系式；

（2）将、利用加以表示，并利用三角恒等变换思想化简函数解析式，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】（1）因为，由，，

由勾股定理可得，

所以，

所以；

（2）当时，，则，

又，所以，

所以，

，则，故当时，即当时，

函数取得最大值，即.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；

第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；

第三步：求出所求函数的值域（或最值）.