2022-2023学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由终边相同的角的性质即可求解.

【详解】因为与角终边相同的角是，，

当时，这个角为，

只有选项D满足，其他选项不满足.

故选：D.

2．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由对数函数与指数函数的单调性即可比较大小.

【详解】因为，所以，

，

所以，

即.

故选：A

3．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，且，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质或使用特例，判断命题的真假.

【详解】当，时，满足，但，故A选项错误；

当时，，故B选项错误；

当，时，满足且，但，故C选项错误；

若，，则，故D选项正确．

故选：D．

4．如果函数和都是指数函数，则（    ）

A． B．1 C．9 D．8

【答案】D

【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.

【详解】根据题意可得，，则.

故选：D

5．函数的图象大致为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.

【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除；

当时，，当时，，所以，排除B．

故选A.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断.

【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增.

当时，，

，，

.

由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是.

故选：C

7．若，求：（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】用已知角表示所求角，再根据诱导公式以及同角三角函数关系求解即可.

【详解】

故选：A

【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

8．已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】转化为，结合分段函数和一次函数性质，求解即可.

【详解】对，，使得，，

当时，，

当时，，，

由得，

又，在上为增函数，，，，

的取值范围为

故选：C．

二、多选题

9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ）

A．，

B．至少有个，使能同时被和整除

C．，

D．每个平行四边形都是中心对称图形

【答案】AB

【分析】AB选项，可举出实例；

C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；

D选项为全称量词命题，不合要求.

【详解】中，当时，满足，所以A是真命题

B中，能同时被和整除，所以B是真命题

C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题

D是全称量词命题，所以不符合题意.

故选：AB．

10．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称

C．在定义域上单调递减 D．在内的值域为

【答案】AD

【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．

【详解】将点的坐标代入，可得，

则，

所以的图象经过点，A正确；

根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，

函数在内的值域为，故BC错误，D正确，

故选：AD．

11．对于函数，下列判断正确的是（    ）

A．

B．当时，方程总有实数解

C．函数的值域为

D．函数的单调递增区间为

【答案】AC

【分析】A选项，求出，从而得到；

B选项，举出反例即可；

C选项，，利用基本不等式求出时，结合函数奇偶性得到函数值域；

D选项，举出反例.

【详解】对于，因为，故

所以，所以A正确；

对于B，当时，，，，无解，所以B错误；

当时，，其中由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，所以，

又由A选项可知为奇函数，

故当时，，所以函数的值域为，C正确；

∵，

在上不可能单调递增，所以D错误.

故选：AC．

12．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.

【详解】函数的图象图所示：

设，因为，

所以，

当时，，时，，

所以，即.

故选：CD

三、填空题

13．已知扇形的半径为2，周长为8，则此扇形的圆心角的弧度数为______．

【答案】2

【分析】根据扇形的周长和弧长公式计算即可.

【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为，弧长为l，

由扇形所在圆周的半径为2，周长为8，可得，得，

所以，得，

即此扇形的圆心角的弧度数为.

故答案为：.

14．设函数，则的单调递减区间为____________．

【答案】##

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性法则判断即可.

【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，

设，，则函数开口向下，对称轴方程为，

所以函数在单调递增，在上单调递减，

又在定义域上单调递增，

根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.

故答案为：

15．已知函数，且，则的值为______．

【答案】

【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可.

【详解】，令，函数定义域为R，

∵，∴为奇函数，∴．

则，．

故答案为：-10

16．定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】由为奇函数，然后说明为奇函数，又在上单调递减，由奇函数性质可知在整个实数上单调递减，构造不等式，利用单调性解之即可．

【详解】因为为上的奇函数，

所以，

由，则

，

所以也为奇函数，

又函数在上单调递减，

由对称性可知，在上递减，

又因为，

所以

所以，

即，

所以，

故答案为：．

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；

（2）利用对数运算性质计算出答案.

【详解】（1）原式=；

（2）原式.

18．已知集合，，．

(1)若是“”的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意先判断，进而得到的不等式组，解之可求得实数的取值范围；

（2）根据得到的不等式组，解之可求得实数范围．

【详解】（1）解：集合，，

∵是“”的充分条件，

∴，

解得，

∴实数的取值范围是．

（2）解：∵ 集合，，，

∴ ，，

∴ ，

解得，

∴ 实数的取值范围是．

19．已知角的终边经过点．

(1)求，，的值；

(2)求的值．

【答案】(1)当时，，，；当时，，，

(2)

【分析】（1）利用三角函数的定义求解；

（2）利用三角函数的诱导公式化简求解.

【详解】（1）解：①当时，，

有，，；

②当时，，

有，，；

（2），

将代入，可得．

20．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.

(1)写出第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y（单位：万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)该企业从第几年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据，，，）

【答案】(1)，定义域为

(2)该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.

【分析】（1）由每年投入资金比上年增长10%可确定函数关系式，由实际意义得到定义域；（2）令，解不等式即可确定结果.

【详解】（1）第二年投入的资金数为万元，

第三年投入的资金数为万元，

第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y万元与x的函数关系式为，其定义域为.

（2）由，可得，

∵在R上单调递增，则，

故该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.

21．若关于x的不等式的解集是．

(1)求不等式的解集；

(2)已知两个正实数x，y满足，并且恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可.

（2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.

【详解】（1）∵不等式的解集是，

是方程的两个根，

∴，

解得，

则不等式，即，

所以，

所以不等式的解集为；

（2）∵恒成立，

∴，

因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

解得，

即实数a的范围是．

22．定义在上的函数满足对任意的，，都有，且当时，．

(1)证明：函数是奇函数

(2)证明：在上是增函数

(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；

（2）设任意，且，作差，结合题干条件可证明，再结合奇函数性质，即可得证；

（3）可转化为即，列出不等式组，控制条件，求解即可.

【详解】（1）证明：令，得，，

令，，，

所以函数是奇函数

（2）证明：设任意，且，

，

且当时，，

，，

得，，

在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，

综上，在上是增函数

（3）由题意，对任意，恒成立，

即，

由（1），（2）得当时，，

对任意恒成立，

设是关于的一次函数，，要使恒成立，

即,

解得或，所以实数的取值范围是