2022-2023学年甘肃省酒泉市高一上学期期末数学试题（解析版）

酒泉市普通高中2022~2023学年度第一学期期末考试

高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 若集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A,B中的元素，再利用交集，并集的计算逐一判断选项.

【详解】，，

，AB错误，C正确；

，D错误.
故选：C.

2. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据扇形面积公式即可求出.

【详解】设扇形的圆心角为，

则，即，解得

故选：C.

3. 铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）

A. 且 B. 且

C. 且 D. 且

【答案】C

【解析】

【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.

【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.

故选：C.

4. 若函数是定义在上的函数，那么“”是“函数是奇函数”的（）条件

A. 必要不充分 B. 充分不必要

C. 充分必要 D. 既非充分也非必要

【答案】D

【解析】

【分析】通过举反例，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.

【详解】当，时，则，但为偶函数；

当，时，则为奇函数，但在处无意义；

综上，“”是“函数是奇函数”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

5. 已知（）.

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解.

【详解】因为，由题意可知:,

将分式的分子和分母分别除以，可得:,

解得:.

故选：.

6. 已知幂函数在上单调递减，则函数（且）图象过定点（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数的概念和性质列式求出，再根据对数函数的性质可得结果.

【详解】因为幂函数在上单调递减，

所以，解得，

则，（且），

因为（且）过定点，所以的图象过定点.

故选：C

7. 已知，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c.

故选A.

点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.

8. 已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，

那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（）

A. （-1，2） B. （1，4）

C. （-∞，1]∪[4，+∞） D. （-∞，-1]∪[2，+∞）

【答案】D

【解析】

【分析】不等式可以变形为，再根据函数

是上的增函数得，解出x的范围就即可．

【详解】不等式可变形为，

∵，是函数图象上两点，∴，，

∴等价于不等式，

又因为函数是上的增函数，

∴等价于，

解得，

∴不等式的解集为：，

∴其补集为：．

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若，则下列不等关系中正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断AB；利用基本不等式判断C；利用做差法判断D.

【详解】，，

对于A：，则，正确；

对于B：，则，，错误；

对于C：，则，当且仅当时等号成立，又，即，，正确；

对于D：，

，，，即，正确.

故选：ACD.

10. 下列大小关系中正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦函数的单调性及和0的大小关系来确定答案.

【详解】在上单调递增，

，

又，

.

故选：B

11. 若，则下列等式成立的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用诱导公式逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于CD选项，，C对D错.

故选：ABC.

12. 对于0a1，下列四个不等式中成立的是（）

A. loga(1＋a)loga B. loga(1＋a)loga

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质及指数函数、对数函数的性质判断．

【详解】因为0a1，所以a，从而1＋a＜1＋，所以loga(1＋a)loga，.

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知正实数x，y满足，则最小值______．

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.

【详解】正数，满足：，

，

当且仅当，即，时 “”成立，

故答案为：.

14. 已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案.

【详解】集合恰有两个非空真子集,

则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根，

，

解得且.

故答案为：（答案不唯一）.

15. 函数的部分图象如图所示，如果、，且，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得的值.

【详解】由图象可知，，函数的最小正周期为，则，

此时，，

由于，且函数在附近单调递增，

所以，则，

，，，即.

、，且，

由图象可知，点、关于直线对称，则，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，还考查了正弦函数的图象的对称性，属于中档题.

16. 设满足，满足，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意，，，令，从而得，判断函数在上为增函数，进而得，所以求得.

【详解】由题意，，，令，则，所以，即，令，函数在上为增函数，所以可知，所以，即.

故答案为：.

【点睛】解答本题的关键在于通过换元法，令得，再根据函数的单调性即可判断出.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答：

由，可得，所以，

即，解得，或，所以或．

由于或均满足，故的值为1或4．

该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）．

【答案】解答过程不正确，的值为4，详解见解析．

【解析】

【分析】根据对数函数的性质，列不等式组得出，利用对数的性质化简原方程，结合已知范围，可得的值．

【详解】不正确，理由如下：

由已知可得，，即，则可化简为，

等价于，即，解得，或，

所以（舍）或．故的值为4．

18. 已知，集合，，．

（1）求，；

（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1），或

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合AB中元素的范围，再利用交并补的概念得答案即可；

（2）根据条件可得，再对和讨论，通过包含关系列不等式求解.

【小问1详解】

，

，

，或，

或；

【小问2详解】

若是的充分不必要条件，

则，，

当时，有，即，满足题设；

当时，，解得，

综合得实数m的取值范围为.

19. 已知函数______．（①；②；请在给出的两个函数中选择其中的一个作为已知条件，将序号填写在横线上，解答下列问题．）

说明：只能选择其中1个函数对三个问题分别作答，比如已选择了第1个函数解答第（1）问，后面的问题若对第2个函数解答则视为无效，不计分．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断并证明函数在其定义域上的单调性；

（3）解关于m的不等式．

【答案】（1）函数为奇函数

（2）函数在其定义域上为增函数，证明见解析

（3）若选①，解集为；若选②，解集为

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的定义可判断出结果；

（2）根据增函数的定义以及指数函数与对数函数的单调性可得结果；

（3）根据函数的奇偶性以及单调性可求出结果.

【小问1详解】

若选①，则，其定义域为，，

所以为奇函数.

若选②，则，由，得，则其定义域为，

，所以为奇函数.

【小问2详解】

若选①，则，其定义域为，函数在上为增函数，

证明如下：

任设，则

，

因为，所以，，又，

所以，即，

所以函数在上为增函数.

若选②，则，由，得，则其定义域为，函数在上为增函数，

证明如下：

任设，

则，

因为，所以，，

，，，，即，

所以函数在上为增函数.

【小问3详解】

若选①，则由（1）和（2）知，函数在上为增函数且为奇函数，

由，得，

得，得，

所以不等式的解集为.

若选②，则由（1）和（2）知，函数在上为增函数且为奇函数，

由由，得，

得，解得，

所以不等式的解集为

20. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

（1）请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式；

（3）若在上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1），，

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；

（2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式；

（3）将问题转化为，然后求出函数在上的最值即可.

【小问1详解】

由表格根据五点作图的规律，

可得，，，，

得，，

，得，

综上：，，；

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位得，

再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得；

【小问3详解】

由得，

若在上恒成立，

则，

又当时，，

，

得.

21. 党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．

（1）将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；

（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．

【答案】（1）；

（2）当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元.

【解析】

【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；

（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

当时，；

当时，，

即；

【小问2详解】

当时，，

所以当时，，

当时，，

当且仅当时取等号，即时取等号，

∵，∴当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元．

22. 函数的最小值为，

（1）当时，求；

（2）若，求实数

【答案】（1）

（2）1

【解析】

【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.

（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.

【小问1详解】

当时，

.

所以，当时，取得最小值，即.

【小问2详解】

，

若，即时，则当时，有最小值，.

若，即时，则当时，有最小值，.

所以，

若，得或

由解得或（舍去），

由解得（舍去）.

所以