2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．计算的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．

【详解】cos（﹣840°）＝cos840°＝cos120°．

故选B．

【点睛】本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．

2．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是（    ）

A．(0，1) B．(2，3)

C．(3，4) D．(4，＋∞)

【答案】C

【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案.

【详解】由在上单调递减，在上单调递增

所以函数在上单调递减

又

根据函数f(x) 在上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.

故选：C

3．已知角α的终边过点，则的值是（    ）

A． B． C．0 D．或

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义进行求解即可.

【详解】因为角α的终边过点，

所以，

，

，

故选：B

4．已知，则的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据中间值法就可比较大小.

【详解】,，则, ,

 ,

故选：D.

5．2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为

A．7000 B．7500 C．8500 D．9500

【答案】C

【分析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.

【详解】参加工作就医费为，

设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为，

因此选C.

【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.

6．下列关于函数y＝tan的说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递增 B．最小正周期是2π

C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称

【答案】C

【分析】对A，令，解出函数的单调递增区间，再分析是否在某一个单调区间内；对B，求出函数周期；对C，令，观察是否存在，使得；对D，根据正切曲线没有对称轴判断.

【详解】令，解得，

显然不满足上述关系式，故A错误；

易知该函数的最小正周期为，故B错误；

令，解得，，当时，所以是函数的对称中心，故C正确；

正切曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故D错误．

故选：C

7．已知函数，则的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】判断函数的奇偶性，再利用时，函数值的符号即可求解.

【详解】由，

则，

所以函数为奇函数，排除B、D.

当，则，

所以，，

所以，排除A.

故选：C

8．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（       ）

①     ②函数在定义域上是周期为2的函数

③直线与函数的图象有2个交点    ；④函数的值域为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】利用已知条件得出在时，函数具有类周期性，结合奇函数性质可求得，从而易判断①，根据周期性定义，举反例判断②，通过研究直线与函数的图象的交点，结合的性质判断③④．

【详解】时，，则，，，又是R上的奇函数，因此，，所以，①正确；

，， ②错误；

作出函数的图象与直线（如图），可得直线与的图象只有两个交点和，

时，，其图象与直线只有一个交点，又是奇函数，从而在上的图象与直线只有一个交点，由命题①的推理可得，由于时，，同样由命题①的推理结合奇函数性质得，而时，，时，，因此③错，同时得出④错．

正确的命题只有①．

故选：A．

【点睛】易错点点睛：本题考查函数的周期性与奇偶性、考查函数的值域，解题关键是掌握函数的性质的研究方法，数形结合是解决图象交点问题的常用方法．本题易点是错认为函数是周期函数，这是没有注意到周期的性质是对才可得出而不是对得出的．

二、多选题

9．已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A．

B．函数单调减区间为

C．若，则的取值范围是

D．若方程有三个解，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】直接计算得到A正确，根据函数图像得到B错误，D正确，考虑和两种情况，计算得到答案.

【详解】，A正确；

画出函数图像，根据图像知函数单调减区间为和，B错误；

当时，，解得；当时，，解得，故，C正确；

，方程有三个解，根据图像知，，D正确.

故选：ACD

10．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ）

A．点P第一次到达最高点需要10秒

B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米

C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

【答案】AC

【分析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.

【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为

，

由题意得：解得：

∴.

故D错误；

对于A.令h=6，即，即

解得：t=10，故A对；

对于B令t =35，代入，解得：h=4，故B错误；

对于C. 令t =25，代入，解得：h= -2，故C对.

故选：AC

11．下列说法中正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．函数（且）的图象经过定点

C．幂函数在上单调递增，则m的值为4

D．函数的单调递增区间是

【答案】ABC

【分析】A：由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；

B：令求解判断；

C：根据是幂函数求得m，再根据单调性判断；

D：利用对数复合函数的单调性判断.

【详解】A.命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即“，”，故A正确；

B.因为函数且，令得，此时 ，故的图象经过定点，故B正确；

C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故C正确；

D.令，得 或，所以函数的定义域为，

又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，故D错误.

故选：ABC

12．已知函数的图象，给出以下四个论断，其中正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象的一个对称中心为

C．在区间上是减函数

D．可由向左平移个单位

【答案】AC

【分析】利用代入检验法可判断A、B、C的正误，利用图象变换可判断D的正误.

【详解】，故的图象关于直线对称，故A正确.

，故的图象的对称中心不是，故B错误.

，

当，，而在为减函数，

故在为减函数，故C正确.

向左平移个单位后所得图象对应的解析式为，

当时，此函数的函数值为，而，

故与不是同一函数，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.

【答案】120

【分析】利用扇形的面积公式求解.

【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，

所以扇形的面积为：，

故答案为：120

14．函数的反函数的定义域为_________．

【答案】

【分析】反函数的定义域即为原函数的值域,故需求的值域即可.

【详解】∵，∴，

∴函数的值域为．

∵的定义域即函数的值域

∴的定义域为．

故答案为:

15．已知，则等于__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式进行化简求值.

【详解】＝

＝.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

16．函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.

【答案】

【解析】由x∈(0，)求出，然后，画出正弦函数的大致图像，利用图像求解即可

【详解】由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图

则由图可知当时，方程有三个根，由解得，

解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，，则，即.

故答案为：

【点睛】关键点睛：解题关键在于利用x∈(0，)，则画出图像，并利用对称性求出答案

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）1

（2）2

【分析】（1）利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解.

（2）分子分母同时除以，把弦化切进行求解.

【详解】（1）原式=

=

=

=1

（2）因为，且，

所以分子分母同除以有：

，

即，

解得 .

18．已知函数的部分图象如图所示．

(1)写出函数的解析式及单调递增区间；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)由图象知周期,求得，将代入求得;

(2)令,根据的单调性求得最大值及最小值及相应的取得最值的.

【详解】（1）根据函数的部分图象，

可得，解得，

∴，

将代入可得，即,

所以,因为,所以解得，

所以，

令，

解得递增区间为.

（2）由以上可得，，

，∴，

在单调递增,在单调递减，

∴，

当时，即，函数取得最小值为，

当时，即，函数取得最大值为1，

所以值域为.

19．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．

(1)如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；

(2)至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参考数据：，）

【答案】(1)应将作为模拟函数，理由见解析

(2)至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人

【分析】（1）分别将，2，3代入两个解析式，求得a，b，c，p，q，r，求得解析式，并分别检验，5，6时函数值与真实值的误差，分析即可得答案.

（2）令，可求得x的范围，根据所给数据进行分析，即可得答案.

【详解】（1）由题意，把，2，3代入得：

解得，，，所以，

所以，，，

则，，；

把，2，3代入，得：

解得，，，所以，

所以，，，

则，，

因为，，更接近真实值，所以应将作为模拟函数；

（2）令，解得

由于即，

所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．

20．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;

(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）;

(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.

【答案】(1)

(2)4.92 t.

(3)

【分析】（1）通过频率分布直方图求得的频率，由此求得的估计值.

（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.

（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为的位置，从而求得全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值.

【详解】（1）由直方图可知全市家庭月均用水量不低于 4t的频率为： .

（2）因为.

因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t.

（3）频率分布直方图中，用水量低于2 t的频率为.

用水量低于4 t的频率为.

用水量低于6 t的频率为.

用水量低于8 t的频率为.

故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为 ，则

则，解得

所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为

21．若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．

(1)求图象的对称中心；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解；

（2）由，得出，即可求得的值.

【详解】（1）解：由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得，

由，可得，

故图象的对称中心为．

（2）解：由，，

因为，

可得，

所以．

22．已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；

（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.

【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；

（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.

【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）可知，，

令，得，

设，则函数在区间上有零点，

等价于函数在上有零点，所以，解得，

因为，所以的取值为2或3.

（3）因为且，所以且，

因为，

所以的最大值可能是或，

因为

所以，

只需，即，

设，在上单调递增，

又，∴，即，所以，

所以m的取值范围是.

【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：

1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.