2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．下列各项中，不能组成集合的是

A．所有的正数 B．所有的老人

C．不等于0的数 D．我国古代四大发明

【答案】B

【分析】根据集合的三要素：确定性、互异性、无序性得到选项．

【详解】集合中的元素具有确定性，老人的标准不确定，元素不能确定，故所有的老人不能构成集合，故选B．

【点睛】本题考查集合中元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．

2．设集合，则（    ）

A．{1} B．{1，2}

C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}

【答案】C

【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；

【详解】解：因为，，所以

故选：C

3．宁县二中共有学生3000人，其中高一级800人，现在全体学生中抽取一个容量为90的样本进行“学习兴趣”调查，则在高一级应抽取（    ）人

A．22 B．24 C．26 D．28

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出抽样比即可求解作答.

【详解】依题意，抽样比为，所以高一级应抽取人数为.

故选：B

4．一组数据6，7，8，8，9，10的方差是（    ）

A．8 B．9 C． D．

【答案】D

【分析】利用平均数、方差的定义直接计算作答.

【详解】数据6，7，8，8，9，10的平均数为，

所以所求方差为.

故选：D

5．函数，当m为（    ）时，函数没有零点.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据函数零点的概念、一元二次方程根的判别式进行求解判断.

【详解】函数没有零点，

等价于方程无实数根，

由有，，故A，B，C错误.

故选：D.

6．某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合题意分析即可求解.

【详解】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km，排除C、D，

先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适.

故选：A.

7．已知函数以上函数中，幂函数的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义判断各个函数作答.

【详解】函数叫幂函数，其中是自变量，是常数，

函数可化为：，因此函数都是幂函数，

函数都不是幂函数，

所以幂函数的个数是3.

故选：C

8．已知，那么（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】令，可得，进而代入解析式即可求解.

【详解】令，且，解得，

所以.

故选：B.

9．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，可得，即函数为奇函数，进而求解.

【详解】由，即，所以函数定义域为，关于原点对称，

由，

所以，

则，即，

所以函数为奇函数.

由，

所以.

故选：C.

二、多选题

10．已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D．

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】对A，若a>b>0，c>d>0，则a+c>b+d，故A正确；

对B，若a>b>0，c>d>0，如，则，故B错误；

对C，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，故C正确；

对D，若a>b>0，c>d>0，则，则，故D正确.

故选：ACD.

11．下列关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，可得答案.

【详解】对于A，由函数在内单调递增，则，故A正确；

对于B，由函数在上单调递减，则，故B错误；

对于C，由函数在上单调递减，则，故C错误；

对于D，由函数在上单调递增，则，

由函数在上单调递减，则，故D正确.

故选：AD.

12．若，化简的结果可能（    ）

A． B．. C． D．

【答案】AC

【分析】解不等式求的范围，结合根式的性质化简代数式即可

【详解】由化简可得，

所以，

所以或，

又，

所以，

当时，，

当时，，

故选：AC.

13．函数性质描述正确的是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】BC

【分析】利用奇偶函数的定义、二次函数的单调性判断作答.

【详解】函数的定义域为R，，函数是偶函数，A错误，B正确；

当时，，即函数在上单调递减，C正确；

当时，，显然函数在上单调递增，由选项C知在上不单调，D错误.

故选：BC

14．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（    ）

A．和在上的单调性相同

B．和在上的单调性相反

C．和在上的单调性相同

D．和在上的单调性相反

【答案】BC

【分析】利用函数奇偶性的定义，可求得和的解析式，进而得解.

【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，

所以，，

因为，

所以，即，

两式联立，可得，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

函数在上单调递减，

所以和在上的单调性相同，在上的单调性相反.

故选：BC.

三、填空题

15．已知命题：至少有一个实数，使.写出命题的否定______.

【答案】任意的，

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】题：至少有一个实数，使，命题的否定为：任意的，.

故答案为：任意的，.

【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于简单题.

16．已知定义域为R的函数，，则_.

【答案】

【分析】根据给定函数，直接代入计算函数值作答.

【详解】依题意，，所以.

故答案为：

17．高一级共840名同学参加了数学单元测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是85分，至少有____名学生的成绩大于或等于85分.

【答案】168

【分析】根据给定条件，结合百分位数的定义计算作答.

【详解】将840名学生的成绩按照由小到大的顺序排列，85分为第80百分位数，则比85分少的人数占80%，

因此成绩大于或等于85分的学生至少占20%，人数为，

所以至少有168名学生的成绩大于或等于85分.

故答案为：168

四、双空题

18．已知，则函数的最小值为________，此时值为________.

【答案】     6     2

【分析】先分离常数，然后再利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为6，此时.

故答案为：6；2.

五、填空题

19．若正数满足，则的最小值为______________.

【答案】

【分析】将已知等式左边因式分解，然后利用基本不等式求得的最小值.

【详解】由得，

，

当且仅当时等号成立，所以的最小值为.

故答案为：

六、解答题

20．已知集合，，，

(1)求，，；

(2)若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；；

(2)

【分析】（1）先解出集合B，再由集合间的运算性质求解即可;

（2）由题意可得，分和两种情况讨论即可.

【详解】（1），

，，

又或，

.

（2）是的充分而不必要条件，

，

当时，有，即；

当时，有，即，

综上所述，实数m的取值范围为.

21．求下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用指数幂运算性质求解即可；

（2）利用对数性质求解即可.

【详解】（1）.

（2）.

22．某种型号的汽车在水泥路面上的刹车距离（m）与汽车行驶速度 (km/h)之间有如下关系：.

(1)当汽车行驶速度为80 km/h时，刹车距离为多少？（结果精确到0.01m）；

(2)在一次交通事故中测得刹车距离大于30m，那么这辆汽车刹车前的速度至少为多少?（，结果精确到0.01 km/h）.

【答案】(1)m

(2)km/h

【分析】（1）根据函数关系式求解即可；

（2）根据题意，列出不等式，进而即可求解.

【详解】（1）由题意，当汽车行驶速度为80 km/h时，

即时，m.

（2）由题意，，

解得（舍去）或，

所以这辆汽车刹车前的速度至少为km/h.

23．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在）

（1）求居民月收入在的频率；

（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；

（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？

【答案】（1）0.15；（2）中位数为2400（元），平均数为2400（元）；（3）25人．

【解析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；

（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数；

（3）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案.

【详解】（1）月收入在的频率为．

（2）从左数第一组的频率为；

第二组的频率为；

第三组的频率为；∴中位数位于第三组，设中位数为，则

．∴中位数为2400（元）

由，

样本数据的平均数为2400（元）．

（3）月收入在的频数为（人），

∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为，

∴月收入在的这段应抽取（人）．

24．已知函数.

(1)求及的值；

(2)作出函数的图象，依据图象说明的单调性及最值.

【答案】(1)，

(2)函数在上单调递增，在上单调递减，则函数，函数的最大值为，无最小值.

【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解即可得对应函数值；

（2）直接根据函数解析式得分段函数图象，根据图象即可得函数单调性及最值.

【详解】（1）已知函数，所以，

所以，则，

故，；

（2）当时，，

由可得图象如下：

由图象可得函数在上单调递增，在上单调递减，则函数，函数无最小值.

25．定义域为R的奇函数满足.

(1)求解析式；

(2)说明在上的单调性，并给出证明；

(3)求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)单调递增，证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用奇函数的定义求出的解析式，即可作答.

（2）利用（1）中信息，判断在上的单调性，再利用定义证明作答.

（3）利用（1）的结论，分段解不等式作答.

【详解】（1）R上的奇函数满足：当时，，

则当时，，因此，

当时，，

所以函数解析式是.

（2）由（1）知，当时，，于是函数在上单调递增，

，，

因为，则，即，因此，

所以函数在上单调递增.

（3）由（1）知，当时，，解得，则，

当时，，解得或，则，

所以不等式的解集为.

26．定义域为R的偶函数满足.

(1)求解析式；

(2)说明在上的单调性，并给出证明；

(3)求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)在上的单调递减，理由见解析；

(3).

【分析】（1）利用偶函数性质求解解析式；

（2）先将分离参数，再利用定义证明其单调性；

（3）利用的单调性和奇偶性将原不等式转化为，进而求出其解集.

【详解】（1）当时，，是偶函数，

所以当时，，

所以；

（2）在上的单调递减，理由如下：

当时，，

任取，

，

，则，即，

所以在上的单调递减.

（3）因为是偶函数，在上的单调递减，

所以在上的单调递增，且，

因为，

所以可转化为，

即，

又因为在上的单调递增，

所以原不等式可转化为，

所以不等式的解集为.