2022-2023学年广东省江门市蓬江区高一上学期期末(一)数学试题(解析版)
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一、单选题
1.已知,,则A∩B=( )
A.[2,3) B.(2,3) C.(1,5) D.(3,5)
【答案】A
【分析】根据交集的定义直接求解.
【详解】,,则.
故选:A
2.命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】解:因为命题“,”为存在量词命题,
所以其否定为:,.
故选:B
3.下列命题为真命题的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质以及特殊值法进行判断.
【详解】对于A,当时,,故A错误;
对于B,若,则,故B错误;
对于C,当时,,故C错误;
对于D,若,则,则,即,故D正确.
故A,B,C错误.
故选:D.
4.函数的定义域为( )
A.(-∞,5] B.[5,+∞) C. D.
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件,求解函数定义域.
【详解】函数有意义,则有,解得且,
所以函数定义域为.
故选:D.
5.已知,则( )
A.± B. C. D.
【答案】D
【分析】由利用诱导公式计算可得.
【详解】解:因为,所以.
故选:D
6.已知m,均为实数,且函数,若,则m=( )
A.3 B.4 C.6 D.无法确定
【答案】A
【分析】注意到为奇函数,则,据此可得答案.
【详解】注意到,
则为奇函数,则.
故选:A
7.已知p:,,则p是q的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】作差得到,从而得到或且时,满足,从而得到p是q的必要不充分条件.
【详解】,
当时,,故;
当且时,也满足,
故p是q的必要不充分条件.
故选:C
8.已知,,的零点分别是,,,则,,的大小顺序是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】将函数的零点,转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标,利用数形结合法求解.
【详解】解:函数,,的零点,
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标,
如图所示:
由图可得.
故选:B
9.已知函数,则下列判断正确的是( )
A.的定义域是 B.的值域是R
C.是奇函数 D.的最小正周期是π
【答案】B
【分析】由正切函数定义域,值域,奇偶性,最小正周期判断各选项即可.
【详解】A选项,令,得,故A错误;
B选项,因函数值域为R,则值域为R,故B正确;
C选项,,则不是奇函数,故C错误;
D选项,的最小正周期为,故D错误.
故选:D
二、多选题
10.已知函数,则下列判断正确的是( )
A.在R上单调递增 B.是奇函数
C.的图象关于直线对称 D.的零点是1
【答案】AD
【分析】根据函数的单调性、奇偶性、对称性、零点等知识求得正确答案.
【详解】,的定义域是,
且在上递增,A选项正确.
,所以不是奇函数,B选项错误.
,所以C选项错误.
由于,且在上递增,所以的零点是,D选项正确.
故选:AD
11.已知,,且,则( )
A.的最小值是6 B.的最大值是6
C.的最小值是9 D.不存在最大值
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式,求和的最值.
【详解】,可得,
由基本不等式,,即,
由,,得,当且仅当时等号成立,
即最小值为6,A选项正确,B选项错误;
由基本不等式,,解得,当且仅当时等号成立,
即最小值为9,无最大值,CD选项正确.
故选:ACD.
12.对于定义在D上的函数,如果存在实数,使得,那么称是函数的一个不动点.下列说法正确的是( )
A.函数存在1个不动点
B.函数存在2个不动点
C.函数存在3个不动点
D.若函数存在两个不动点,则a的取值范围是(-∞,1)
【答案】BC
【分析】根据不动点的概念,利用函数的图像和方程的根逐项进行分析验证即可求解.
【详解】对于,若函数存在1个不动点,则函数与函数有一个交点,由指数函数的图像和性质可知:函数与函数没有交点,所以函数不存在不动点,故选项错误;
对于,若函数存在2个不动点,则方程有两解,解方程可得:,,所以函数存在2个不动点,故选项正确;
对于,若函数存在3个不动点,则有3个根,也即函数与函数有三个交点,在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像,如下图:
由图可知:函数与函数有三个交点,故选项正确;
对于,若函数存在两个不动点,则方程有两个不同的根,也即方程有两个不同的根,
当时,方程可化为,解得,不满足题意;
当时,要使方程有两个不同的根,则,
解得:或,
综上实数的取值范围为或,故选项错误,
故选:.
三、填空题
13.设,,,若P=Q,则_________.
【答案】-2
【分析】由集合相等的定义,计算集合内的元素.
【详解】,,若P=Q,则有,.
故答案为:-2.
14.不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解.
【详解】不等式,即,解得,
所以不等式解集为.
故答案为:
15.已知,则=___________.
【答案】0
【分析】由同角三角函数的关系化简计算.
【详解】,有,
.
故答案为:0
16.已知函数,且,则的最小值是___________.
【答案】
【分析】先求得的关系式,然后利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意,函数,且,
所以,
所以,
当且仅当时等号成立.
故答案为:
四、解答题
17.已知关于x的不等式.
(1)若该不等式的解集为或,求实数k的值;
(2)若该不等式的解集为空集,求实数k的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)根据一元二次不等式解集,结合根与系数关系求k的值;
(2)由题设及对应二次函数的性质有,即可求解集.
【详解】(1)由题设,且是方程的两个根,
所以,故,即实数k的值为.
(2)由不等式解集为空,则,解得.
18.已知.
(1)当时,根据定义证明函数在区间上单调递增;
(2)若,设,判断函数的奇偶性.
【答案】(1)证明见解析
(2)为奇函数
【分析】(1)根据函数解析式,直接利用定义法证明单调性;
(2)求出,得到和,利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】(1)当时,函数 ,设,
则 ,
由,则,,,所以,即,
故函数在区间上单调递增.
(2)已知,,,
∴,则,函数定义域为R,
,∴为奇函数.
19.已知函数,.
(1)用五点法画函数在上的图像;
(2)解不等式.
【答案】(1)通过列表、描点、连线,作出函数图像;
(2)
【分析】(1)通过列表、描点、连线,作出函数图像;
(2)代入函数解析式,利用余弦函数的图像及性质解三角不等式.
【详解】(1)解:列表如下:
0 | |||||
1 | 0 | -1 | 0 | 1 | |
3 | 1 | -1 | 1 | 3 |
描点,连线即可得到函数在上的图像,如图所示.
(2),则,解得,
所以不等式的为.
20.1986年4月26日,一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火.这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄露,事故所在地被严重污染.主要辐射物是锶90,它每年的衰减率为2.47%.经专家模拟估计,辐射物中锶90的剩余量低于原有的百分之一时,事故所在地才能再次成为人类居住的安全区.设辐射物中原有的锶90为吨,经过年后辐射物中锶90的剩余量为吨.
(1)求的表达式,并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量(用指数式以及表示);
(2)事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区?(结果保留为整数)
参考数据:,,,.
【答案】(1),,吨
(2)年
【分析】(1)利用每年的衰减率为,即可得到的表达式,然后令,代入求解即可;
(2)根据题意列出不等式,两边同时取自然对数,结合题中的数据进行分析求解即可.
【详解】(1)解:由题意得,,
化简得,,
,
经过年后辐射物中锶的剩余量为吨;
(2)解:由(1),知,,
由题意,得,不等式两边同时取对数,得,
化简,得,
由参考数据,得.
,
又,
事故所在地至少经过年才能再次成为人类居住的安全区.
21.已知函数,求:
(1)函数最小正周期和单调递减区间;
(2)函数在区间的最大值和最小值,并且求出取得最值时的值.
【答案】(1)最小正周期为,减区间为;(2)见解析.
【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期,解不等式可得出该函数的单调递减区间;
(2)由计算出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值和最小值及其对应的值.
【详解】(1)由题意可知,函数的最小正周期为,
解不等式,得,
因此,函数的单调递减区间为;
(2)当时,,
当时,即当时,函数取得最小值,即;
当时,即当时,函数取得最大值,即.
【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、单调区间以及最值的计算,解题时要充分利用正弦函数的基本性质来求解,考查计算能力,属于基础题.
22.对于函数,若其定义域内存在实数满足,则称为“伪奇函数”.
(1)已知函数,试问是否为“伪奇函数”?请说明理由;
(2)是否存在实数满足函数是定义在上的“伪奇函数”?若存在,请求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)函数不是“伪奇函数”,理由见解析
(2)
【分析】(1)根据所给定义令得到方程,判断方程无解,即可得解;
(2)依题意可得,令则,问题转化为关于的方程在上有解,令,结合二次函数的性质分、两种情况讨论,分别求出参数的取值范围,即可得解.
【详解】(1)解:函数不是“伪奇函数”,
对于定义域为,
令,即,即,显然方程无解,
所以不存在实数满足,
所以函数不是“伪奇函数”.
(2)解:假设函数是定义在上的“伪奇函数”,
则有,即,
化简得,
令,则,所以,
所以在上有解,
令,
①当即,解得,
即当时,在上有解,
②当时,要满足题意只需,
即,解得,
综上,实数的范围为.
广东省江门市恩平市恩城中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(解析版): 这是一份广东省江门市恩平市恩城中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(解析版),共13页。
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2022-2023学年广东省江门市江门第一中学高一上学期期中数学试题(解析版): 这是一份2022-2023学年广东省江门市江门第一中学高一上学期期中数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了 下列关系式中,正确的是, 若集合,,则, 函数的最小值为, 函数,,则, 不等式的解集为,则的解集为, 下列说法正确的是, 下列命题中,真命题的是等内容,欢迎下载使用。