2022-2023学年河南省信阳高级中学高一上学期1月测试（一）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省信阳高级中学高一上学期1月测试（一）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳高级中学高一上学期1月测试（一）数学试题 一、单选题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ）A．y=x B．y=lnx C．y= D．y=【答案】D【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【详解】解：函数的定义域和值域均为，函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；故选：．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．2．已知，则的值是A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意知， ，由于，故，则原式.故选B.【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.3．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（    ）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；两边取常用对数，得；；所以.故选：D.4．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和性质求解即可.【详解】因为，，，所以，故选：C5．已知函数的图象如图所示，当时，有，则下列判断中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的定义域为得到，排除A选项；根据，得到，再结合时，得到，排除D选项；根据，得到，排除C选项.【详解】由图象可得，定义域为，所以可能是的解，也可能是的解，当是的解时，，此时的解为，跟题意不符；当是的解时，，符合要求，所以，故A错；因为，，，所以，当时，，而，所以的符号在时不变，则的符号也不变，所以只能大于零，即，故D错；因为，，所以，即，故B正确，C错.故选：B.6．已知是定义在R上的增函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（　　）A．  B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，分析可得原不等式可以转化为，由函数的单调性解不等式，即可得答案．【详解】根据题意，满足，则，则，又由是定义在上的增函数，则有，解可得，即不等式的解集为.故选：C.7．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，分、、讨论，根据在上单调性可得答案.【详解】因为是减函数，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，当时，在单调递减， 时，符合题意；当时，若在单调递减，则，解得；当时，若在单调递减，则，解得；综上所述，实数a的取值范围.故选：A.8．已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（　　）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】首先将函数分成两部分，和，然后考察的零点，利用两部分同号相乘为正数的原则，可知两部分的零点相同，代入并讨论去绝对值，即可求解.【详解】由题设，f（x）定义域为令，可得或∴在上，在上，若，∴要使在定义域上恒成立，则在上，在]上，∴或也是g（x）的零点，则：，无解；，解得：； ，无解.∴故选：D 二、多选题9．下列三角函数值为负数的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】对于A，，故A为正数；对于B，，故B为负数；对于C，，故C为负数；对于D，，故D为负数；故选：BCD10．已知实数a，b，c满足：且，则（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；对于B：由即可判断；对于C：取特殊值，否定结论；对于D：由即可判断.【详解】因为实数a，b，c满足：且，所以a、b、c同号.对于A：若，，则，所以；若，，则，所以；故A正确；对于B：因为，所以，所以成立.故B正确；对于C：可取，则，所以不成立.故C错误；对于D：因为，所以.因为，所以.故D错误.故选：AB11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）A．函数的单调减区间是；B．函数在定义域上有最小值为0，无最大值；C．若方程有1个实根，则实数t的取值范围是D．设函数，若方程有四个不等实根，则实数m的取值范围是【答案】ABD【分析】函数变形得，即可根据函数形式得出函数的单调性及值域，即可判断AB；由数形结合即可判断C；对D，方程等价于，结合①解的个数的情况，即可判断②中解的个数及范围，即可根据零点存在定理列不等式求解.【详解】由于在上单调递减，在上单调递增，且在单调递减，所以由复合函数单调性可得当时，在上单调递增，在上单调递减，故的图象如图所示，对AB，在，单调递增，值域；在，当时，有最大值，即在单调递增，在单调递减，值域为，综上，的值域为，故AB对；对C，方程有1个实根等价于与有一个交点，则实数t的取值范围是，C错；对D，方程等价于，由于时方程①一解；时方程①两解；时方程①三解.故有四个不等实根等价于有两根，其中，.∵，，∴只需即可，此时，，故m的取值范围为，D对.故选：ABD12．定义“正对数”:，若a>0，b>0，则下列结论中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对进行分类讨论，判断出每个命题的真假.【详解】对A，当，时，有，从而，，所以；当，时，有，从而，，所以．所以当，时，，故A正确．对B，当，时满足，，而，，所以，故B错误；对C，令，，则，，显然，故C错误；对D，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，，所以；当，时，有，从而，，所以；当，时，有，从而，，所以；当，时，，，因为，所以，所以．综上所述，当，时，，故D正确．故选：AD．【点睛】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义使解题无法入手. 三、填空题13．计算=______.【答案】5【分析】根据对数和指数的运算求解即可.【详解】.故答案为：5.14．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则______．【答案】【分析】由诱导公式求出点的坐标，由三角函数的定义求出的值，再由诱导公式即可求解.【详解】因为，，因为角的终边经过点，因为，所以，所以故答案为：.15．设函数和函数，若对任意的，t]，当时，都有，则t的最大值为___________.【答案】1【分析】将条件进行整理，最后转化为一个函数的在区间上的单调性问题.【详解】不妨设对于即单调递增；，在上单调递增，故故答案为：116．已知函数对于任意均满足，且当时，，若存在实数满足，则的取值范围为___________.【答案】【分析】由抽象函数关系式可知关于直线对称，由此可得；作出在上的图象，采用数形结合的方式可确定且，令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，结合对勾函数性质可得的范围，进而确定结果.【详解】，关于直线对称，，令；作出在上的图象如下图所示，由图象可得：，，且，，令，则，即，的取值范围为.故答案为：. 四、解答题17．设，集合(1)若，求(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据对数函数定义域与单调性，结合二次不等式与交集的定义求解即可；（2）由题意且，再分别代入求解不等式即可.【详解】（1）当时，所以（2）集合，所以因为，所以且.则，即，解得.18．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为．(1)求函数的解析式．并求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据题意，得到，而，根据所在象限，得出，进而求出，再代入，即可求得；（2）由，得到，根据，得，利用平方关系解得，进而可求出的值.【详解】（1）因为，且，点在第三象限，所以，由此得，（2）由于知，即由于，得，与此同时，所以由平方关系解得：，所以19．2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【解析】（1）代入公式中直接计算即可（2）由题意得，，则，求出的范围即可【详解】（1），（2），.因为要使火箭的最大速度至少增加，所以，即：，所以，即，所以，因为，所以.所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题20．已知，(1)当，求的值；(2)求函数的最大值【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据得到，，代入计算得到答案.（2）确定，化简得到，讨论，和三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1），故，，，又，故，则，，故，.（2），，故，故，，设，二次函数的对称轴为，当时，；当时，；当时，.综上所述：21．已知定义在上的增函数，函数，．(1)用定义证明函数是增函数，并判断其奇偶性；(2)若，不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；(3)在（2）的条件下，函数有两个不同的零点，且，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明详见解析，是奇函数(2)(3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证得是增函数，根据函数奇偶性的定义判断出是奇函数.（2）由分离常数，结合基本不等式以及函数的单调性求得的取值范围.（3）利用换元法，将转化为一元二次方程的形式，结合二次函数零点分布的知识列不等式，从而求得的取值范围.【详解】（1）设，且．因为是上的增函数，则，又，则，则，即，所以是增函数；的定义域是，且对于，，故是奇函数．（2）由，即，则，即，对恒成立．令，，当且仅当时等号成立，即，则，对任意恒成立.对于函数，任取，，当时，由于，所以，所以在区间上递增.所以，故．故实数的取值范围为.（3）由，即，则．因为，设，则，令，则，因为有两个不同零点，故上述方程有两个不同的实根，且，．记，则有，解得：．故实数a的取值范围为．【点睛】利用定义法判断函数的单调性，主要的步骤是：在定义域上任取，且；通过计算判断出的符号；从而判断出函数的单调性.研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法进行求解.22．设定义在实数集上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数,对于任意实数,等式恒成立,则称函数为函数.（1）若函数为函数,求出的值；（2）设,其中为自然对数的底数,函数.①比较与的大小；②判断函数是否为函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.【答案】（1）或；（2）①②是函数，证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解参数值.（2）①根据函数单调性定义，比较与的大小关系，进而比较与的大小②根据题意，列出方程，证明方程有解，令，判断在上存在零点，即可证明是函数.【详解】（1）因为函数为函数.所以对任意实数都成立，即，即，所以或（2）①因为，所以，即又因为在R上为增函数，所以②若是函数.则存在不等于1的正常数，使等式对一切实数恒成立，即关于的方程有解，令，则函数在上的图像是一条不间断的曲线，据零点存在性定理，可知关于的方程在上有解，从而是函数.【点睛】本题考查：（1）理解与辨析新定义问题.（2）①单调性定义②零点存在性定理.本题属于难题.