2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知角，则符合条件的最大负角为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【分析】直接代入的值即可求解.

【详解】依题意，，

取时，有最大负角.

故选：A.

2．若函数（且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出点的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值.

【详解】当，即时，，所以，

所以，由诱导公式可得.

故选：C.

3．已知，则的值为（    ）

A．0 B．

C． D．0或±

【答案】C

【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.

【详解】因为

两式相加可得，即.

故选：C.

4．设集合，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出集合、的范围，利用的性质即可求解.

【详解】依题意，对于集合：

，

所以；

对于集合：

，

因为，所以，

所以；

因为，所以，

所以，解得，

故选：A.

5．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出函数在上的值域为，求出函数在上的值域为，分析可知，，结合补集思想可求得实数的取值范围.

【详解】当时，，

当时，，

因为，，使得，

所以，，

考查的情形，则或，解得或，

故当时，.

故选：D.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.

【详解】依题意，

，

故选：B.

7．函数对任意实数，都有，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得是最大值或最小值，是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．

【详解】解：由知是最大值或最小值，

所以，是的一条对称轴的方程，

所以，满足，，

所以，

因为，所以最小值为.

故选：C.

8．已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.

【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，

因为是奇函数，所以 ，，

且的周期为，且，，，，

求的零点，即是与的交点，如图：

为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此

故选：A

二、多选题

9．下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.

【详解】对于A，∵，且函数的定义域为，

∴函数为偶函数，又时，，且函数在

上单调递增，∴函数在上单调递减，故A符合题意；

对于B，∵，且函数定义域为，

∴函数为偶函数，当时，，

且函数在上单调递减，

∴函数在上单调递减，故B符合题意；

对于C，∵，

∴函数在上单调递增，故C不符合题意；

对于D，记，

则，∴，

∴函数不是偶函数，故D不符合题意.

故选：AB.

10．已知，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据题干条件得到判断A；由在上单调性判断B；由基本不等式得到判断C；作差法比较出D.

【详解】解：因为，所以，

不妨令，则，故，故A错误，

因为在上单调递减，故，B正确；

因为，故C正确；

若，因为，故，D正确.

故选：BCD

11．若函数，分别是上的偶函数、奇函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出，即可求解.

【详解】依题意，

因为函数，分别是上的偶函数、奇函数，

所以，，

因为，

所以，

所以，

由，

解得，，

所以A选项错误，B选项正确；

因为，，

所以，所以C选项错误，D选项正确；

故选：BD.

12．下列说法正确的是（    ）

A．且则

B．的大小关系为

C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为

D．函数，则使不等式成立的的取值范围是

【答案】BD

【分析】根据函数的图象性质可求解A，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B，结合钟表图形可判断C，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.

【详解】由可得，不妨设，

则有，所以，A错误；

所以，

因为，

所以，所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以，B正确；

八点二十分，如图，,

所以，C错误；

中，令解得或，

所以定义域为，

，所以函数为偶函数，

当时，设，此时单调递增，

再结合复合函数单调性可知单调递增，

所以在单调递增，

则在单调递减，

所以由可得即，

解得或，故D正确，

故选:BD.

三、填空题

13．______．

【答案】##

【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】.

故答案为：.

14．为自然对数的底数，则____________．

【答案】##

【分析】根据对数运算求解即可.

【详解】解：.

故答案为：

15．已知，且满足，则的值域为______.

【答案】

【分析】根据已知条件，运用三角函数的有界性，可得，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．

【详解】解：，则

，可得，

，，

设，，

的对称轴为，

在区间上单调递增，

，，

的值域为．

故答案为：．

16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.

【答案】

【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.

【详解】解：由题意可知，

设，

则弧的长度为，所以，

设弧所对的扇形的面积为，

，

则该鲁洛克斯三角形的面积为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知为斜三角形．

(1)证明：；

(2)若，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.

（2）式子两边同时平方，求出，再求出，联立方程即可求解.

【详解】（1）依题意，证明：，所以．

因为，所以，所以．

由，可得．

（2）因为，

所以，

则，

又，所以，

所以

则.

18．已知函数，为自然对数的底数．

(1)写出的单调区间；

(2)若时，证明：．

【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为

(2)证明见解析

【分析】根据，结合指数函数单调性求解即可；

（2）不妨设，进而根据，结合指对互化得，，再结合的范围即可得答案.

【详解】（1）解：因为函数

所以，根据指数函数的单调性得，当时，单调递增；当时，单调递减；

所以，的单调减区间为，单调增区间为

（2）解：由（1）知，当时，，当时，

，不妨设，

∴

∴，，

∴，即，

∴两边取以为底的对数得，

，，

∴

19．已知函数，．

(1)求函数的最小正周期；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.

（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.

【详解】（1）依题意，由已知

，

所以最小正周期是；

（2）时，，

，

等价于在区间上的有两最大值为，

则，

，所以的最小值是．

20．已知函数

(1)若，证明为奇函数；

(2)若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换得，，再判断函数奇偶性即可；

（2）由题知，再令，进而得，，再根据单调性求最值即可得答案.

【详解】（1）解：

．

所以，，即，定义域为，

所以，，

所以，为奇函数.

（2）解：∵在上恒成立，

∴．

令，因为，所以，  

所以，，，

因为 在单调递增，

所以 ，  即 ，

所以，解得，

所以的取值范围是．

21．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．

(1)若，使得成立，求的集合；

(2)若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值

【答案】(1)

(2)最小值为，最大值为.

【分析】（1）根据对称性求得，进而将问题转化为求解即可；

（2）令，进而将问题转换为方程，有解,再结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）．  

函数的图象上取点，其关于直线对称点的坐标为，

代入，

可得，  

因为，使得成立，

所以，，即，故，

所以，，解得

所以，的集合为

（2）解：因为，，

所以， ，

所以，等式，可化为， ，

所以，存在，使等式成立时，方程，有解,

所以，由基本不等式的性质知，当时，m的最小值为，当或2时，m的最大值为3；  

所以，实数m的最大值为，最小值为.

22．已知函数，以下证明可能用到下列结论：时，①；②．

(1)，求证：；

(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用时，，通过多次代换即可证明；

（2）首先（1）得，令，得到一系列不等式，相加即可.

【详解】（1）由已知时，，

用代换得，再以代换得，                                           

即，即，得证

（2）由（1）可知时，

则，                                

令得，

令得，

令得，                                  

相加得

，（）