2022-2023学年广西南宁市第三中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西南宁市第三中学高一上学期期末考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西南宁市第三中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题1．已如全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出，再根据补集的概念可求得结果.【详解】,。故选：C2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解.【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得：命题“，”的否定是，.故选：A.3．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据对数函数为增函数，以及充要条件的定义可得答案.【详解】当时，根据对数函数为增函数，可得，当时，根据对数函数为增函数，可得，所以“”是“”的充要条件.故选：C【点睛】关键点点睛：根据对数函数为增函数，以及充要条件的定义求解是解题关键.4．已知集合， ，若，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A，根据集合的关系得到关于的不等式组，解出即可.【详解】因为或，，且，所以有，解得，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，解题方法如下：（1）根据一元二次不等式的解法求得集合A；（2）根据两集合的并集为，得到关于的不等式组，求得结果.5．设，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D. 6．已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据幂函数单调性、指数函数的单调性和对数函数的单调性可得四者之间的大小关系.【详解】因为为上的减函数，故，故，又为上的增函数，故，故，而为上的增函数，故，故，故，故选：B.7．已知函数的定义域为R且满足，，若，则（    ）A．6 B．0 C． D．【答案】C【解析】根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质可求得结果.【详解】因为，所以的周期，因为函数的定义域为R且满足，所以，，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质求解是解题关键.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是A． B． C． D．【答案】D【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 二、多选题9．若，则下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据不等式的性质判断A，C；利用作差法比较大小判断B，D.【详解】解：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，由于，所以，则，即，故B错误；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，由于，则，但与的大小不确定，故D错误.故选：AC.10．函数（，）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．是函数的一条对称轴 D．函数的对称中心是，【答案】CD【解析】由函数的图象有，可判断A；由和可判断B；由函数的对称轴为：，可判断C；由函数的对称中心，可判断D正确.【详解】由函数的图象有，则，即，所以，则A错误；由图象可得，， 所以，即，由，所以，所以B不正确；所以函数的对称轴为：，即，当时，是函数的一条对称轴，所以C正确；所以函数的对称中心满足：，即，所以函数的对称轴心为，，所以D正确.故选：CD.【点睛】本题考查根据图象求余弦型函数的解析式，关键点是根据图象得到周期，从而求出，再代入图象过的特殊点得到的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.11．已知定义在上的函数满足：①对任意，；②当时，，且．则下列结论正确的是（    ）A．B．函数是奇函数；C．函数在上是增函数D．函数在区间上的最大值为2【答案】ACD【解析】先求 的值，令，推出，．结合函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性；利用函数单调性的定义，直接判断函数在上的单调性；通过奇偶性，单调性，直接求函数在区间上的最大值；【详解】令 ，则，得；再令，则，得．A正确；对于条件，令，则，所以．又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，B错；任取，且，则有．又∵当时，，∴而，所以函数在上是增函数，C正确；∵，又，∴．又知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，∴函数在区间上的最大值为，D正确．故选：ACD【点睛】思路点晴：通过赋值求得，用奇偶性定义和单调定义判断其奇偶与单调性，再结合性质求得最值.12．已知函数，则关于x的方程，下列叙述中正确的是（    ）A．当时，方程恰有3个不同的实数根B．当时，方程无实数根C．当时，方程恰有5个不同的实数根D．当时，方程恰有6个不同的实数根【答案】ABD【解析】作出函数的图象，当时，求出，根据图象可知A正确；当时，求出，根据图象可知B正确；当时，求出或，根据判断出，，由图可知C不正确；当时，求出或，根据判断出，，由图可知D正确.【详解】，其图象如图：当时，化为，即，由图可知，方程有3个不同的实数根，即方程恰有3个不同的实数根，故A正确；当时，化为，即，由图可知，方程无实数根，即方程无实数根，故B正确；当时，由得或，因为，且，由图可知，无实数根且无实数根，所以方程无实数根，故C不正确；当时，由得或，因为，，所以由图可知，方程有4个不等的实数根，因为，所以由图可知，方程有2个不等的实根，并且以上6个实根均不相等，所以方程恰有6个不同的实数根，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：由求出的值，并判断该值的范围，再结合的图象分析求解是解题关键. 三、填空题13．若点在角的终边上，则________．【答案】【解析】根据正弦函数的定义可求的值.【详解】因为，故，故，故答案为：.14．设，已知，，则________．【答案】【解析】根据，，求出，再根据解析式求出和即可得解.【详解】因为，，所以，，解得，，所以，所以，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据，，求出是解题关键.15．已知，则的值为________．【答案】【解析】先利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式化简后可得所求的三角函数式的值.【详解】因为，故，故（否则，矛盾），所以，又，故答案为：.【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16．若两个正实数满足且恒成立，则实数的最大值是__________．【答案】8【详解】，当且仅当，即时等号成立.要使恒成立，则，解得，则实数的最大值是8.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 四、解答题17．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.①函数（，）的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②函数；③函数；问题：已知________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】分别选择①，②，③求出函数，（Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出的递增区间；（Ⅱ）代入，根据的范围可求出结果.【详解】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．所以，选择①，则，得，所以，所以，因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，所以，所以，，所以，，因为，所以，所以，选择②，，所以，所以，所以，选择③，，所以，所以，所以，（Ⅰ）由，，得，，所以的单调递增区间为，.（Ⅱ）若，，则，即，因为，所以，所以或，得或.【点睛】关键点点睛：根据三角函数的性质求出的解析式是解题关键.18．已知函数．（1）若，恒成立，求实数k的取值范围；（2）若，解关于x的不等式：．【答案】（1），（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为【解析】（1）当时，满足条件，当时，由题意得，从而可求出实数k的取值范围；（2）先由求出，由得，解得或，然后分和两种情况解不等式即可【详解】解：（1）当时，恒成立；当时，由，恒成立，得，即，解得，综上，实数k的取值范围为，（2）由，得，解得，所以，由，得，即，，解得或，当时，得或，当时，得或，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，解题的关键是由，得，得或，然后分和两种情况解对数不等式即可，属于中档题19．已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）若且，求的值．【答案】（1），（2），（3）【解析】（1）由，，可求出，从而可求出，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出，再利用展开代值可求得结果【详解】解：（1）因为，，所以，所以，所以，（2），（3）因为，，所以，因为，所以，所以【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题20．已知函数，．（Ⅰ）证明：函数在上单调递增；（Ⅱ）若，，使得，求实数a的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）利用单调性的定义证明即可；（Ⅱ）由题意可知，函数在[3，+∞)的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.【详解】（Ⅰ）取，且，则，因为，所以，，，所以，所以，即，所以函数在上单调递增；（Ⅱ）由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3,+∞)上值域的子集，，等号成立的条件是，即x=3时等号成立， 即函数在[3,+∞)的值域是[4,+∞)，，是增函数，当x∈[3,+∞)时，函数的值域是，所以，解得：1<a≤2，所以实数a的最大值是2.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：（1）利用函数单调性的定义，按取值、比较大小、得出结论的步骤证明即可；（2）根据题意，将问题转化为两个函数值域的关系，建立不等关系式求得结果.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)4，480元. 【分析】（1），代入分段函数化简即可；（2）结合二次函数性质及基本不等式求分段函数最值即可.【详解】（1）；（2），当时，；当时，，当且仅当时等号成立.由得当时，.所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元22．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）若对任意都有成立，求t的取值范围；（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由在上递增，方程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即对定义域内任意恒成立，所以，即，显然，又当时，的定义域关于原点对称．所以为满足题意的值． （2）由（1）知，其定义域为，可以判断出在上为增函数．所以在上为增函数，对任意都有成立，则有，所以，所以，所以求t的取值范围为；（3）由（2）知在上为增函数，又因为函数在上的值域为，所以，且，所以，即是方程的两实根，  问题等价于方程在上有两个不等实根，令，对称轴则， 即，解得．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.