2022-2023学年湖南省娄底市第四中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省娄底市第四中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合 ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合，即可由并集的运算求解.

【详解】因为

，所以．

故选：B

2．函数零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点存在原理进行判断即可.

【详解】由题意得的图象是一条连续不断的曲线，是增函数．

因为，

所以零点所在的区间是．

故选：B

3．若幂函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则的解析式可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的图象和性质依次判断选项即可.

【详解】A：函数的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点，故A不符合题意；

B：函数的图象关于原点对称，且与x轴有公共点，故B不符合题意；

C：函数的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意；

D：函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意.

故选：D.

4．“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得

由可得，所以得不出，

可得”是“”的充分不必要条件，

故选：A

5．先将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦型函数图象的变换性质进行求解即可.

【详解】的图象向右平移个单位长度，可得；

再将的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，可得，即．

故选：C

6．若非零实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．2

【答案】C

【分析】利用基本不等式可得，即可得到答案.

【详解】因为非零实数a，b满足，

所以且，解得，

当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为4．

故选：C

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为，

所以，

又，

所以．

故选：D

8．如图，假定P，Q两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从A，C出发，点Q沿射线做匀速运动，，点P沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义x为y的纳皮尔对数，函数表达式为，则P从靠近A的第一个五等分点移动到靠近B的三等分点经过的时间约为（    ）（参考数据：）

A．0.7秒 B．0.9秒 C．1.1秒 D．1.3秒

【答案】B

【分析】P运动到靠近的第一个五等分点时，；P运动到靠近B的三等分点时， ，再计算得到答案.

【详解】P，Q两点的初速度为单位/秒．设P运动到靠近的第一个五等分点时，，

则，得．

设P运动到靠近B的三等分点时，，则，得．

故所求的时间为秒．

故选：B

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．“”是存在量词命题 B．

C． D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题

【答案】ABD

【分析】根据量词的知识逐一判断即可.

【详解】“”是存在量词命题，选项A为真命题．

，选项B为真命题．

因为由得，所以选项C为假命题．

“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题．

故选：ABD

10．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知，则（    ）

A． B．弧的长为

C．该平面图形的周长为 D．该平面图形的面积为

【答案】ACD

【分析】如图分别延长与交于点O，根据相似三角形的性质可得，进而求得，结合扇形的弧长与面积公式计算即可求解.

【详解】如图，分别延长与交于点O，

易得，得，

所以为等边三角形，，

所以，得，

该平面图形的周长为，

面积为．

故选：ACD.

11．若函数，则（    ）

A． B．

C．在上是增函数 D．为偶函数

【答案】ABD

【分析】，然后可逐一判断.

【详解】因为，所以A选项正确．

因为，

所以，B选项正确，D选项正确，

对于，因为在R上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得在R上是减函数，C选项错误，

故选：ABD.

12．已知，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】先将配方化为后，使用三角换元法进行求解.

【详解】由配方得，即，

令，，则，，

对于A，∵，∴，即，故选项A正确；

对于B，，

令，，则，

∵，∴，，故选项B正确；

对于C和D，

∵，∴，

∴，即，

故选项C错误，选项D正确.

故选：ABD.

【点睛】对于已知（，，）求与，有关的取值范围问题，可将化为，再使用三角换元的方法解决.

三、填空题

13．与角终边相同的最小正角为__________（用弧度数表示）．

【答案】##

【分析】根据终边相同的角的概念即可直接得出结果.

【详解】与角终边相同的最小正角为，即．

故答案为：.

14．已知的部分图象如图所示，则__________．

【答案】

【分析】根据图象可知，结合求得，将代入解析式求得，即可求解.

【详解】由图可得，解得．

又，解得．

因为的图象经过，

所以，解得．

故．

故答案为：.

15．写出满足的的一个值：__________．

【答案】（答案不唯一，满足均可）

【分析】根据诱导公式可得，结合正切函数的单调性求得即可求解.

【详解】因为，

又函数在上单调递增，

所以，

即．

当时，.

故答案为：.

16．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且，则__________．

【答案】2023

【分析】由已知条件结合函数的奇偶性的性质可求得函数的周期为4，再根据，得，再结合周期即可求得结果．

【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，得①．

因为为奇函数，所以，得②．

由①，②得，所以．

由，得，得，

故

．

故答案为：2023．

【点睛】根据抽象函数的性质进行相应的代换，解题的关键是推出函数的周期．

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)0

(2)10

【分析】根据指数幂和对数的运算性质分别计算即可求解.

【详解】（1）原式．

（2）原式．

18．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)3

(2)

【分析】(1)根据两角差的余弦公式可得，结合同角三角函数的关系即可求解；

(2)根据诱导公式、二倍角的正、余弦公式化简和切弦互化可得，结合(1)即可求解.

【详解】（1）由题意得，

，

得，则．

（2）

．

19．已知函数的最小正周期为．

(1)求的单调递减区间；

(2)求不等式在上的解集．

【答案】(1)单调递减区间为

(2)

【分析】(1)利用周期计算出，用主题替换法结合三角函数性质求出递减区间即可；

(2) 等价于，结合给定区间求解不等式即可.

【详解】（1）由题意得．

由，得，

所以的单调递减区间为

（2）由，得，

得，得，

因为，所以，

故不等式在上的解集为．

20．已知函数．

(1)若的定义域为R，求a的取值范围；

(2)若的值域为R，求a的取值范围；

(3)若在上单调，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意得恒成立，然后可得答案；

（2）由题意得，的值能取到所有正数，然后可得答案；

（3）分在上单调递增、单调递减两种情况讨论即可.

【详解】（1）由题意得恒成立，

所以，

得，即a的取值范围为．

（2）由题意得，的值能取到所有正数，

所以，

得或，即a的取值范围为．

（3）当在上单调递增时，得．

当在上单调递减时，得．

综上，a的取值范围为．

21．已知函数，且．

(1)求的值；

(2)者为钝角，为锐角，且，求的值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）将化为，然后可得，然后由算出答案；

（2）根据条件分别求出、，然后根据算出答案即可.

【详解】（1）．

由，得，

得，

所以或．

（2）由题意得．

由，得，

由为锐角，得，因为，所以，

所以，

故.

22．如果函数存在零点，函数存在零点，且，则称与互为“n度零点函数”．

(1)证明：函数与互为“1度零点函数”．

(2)若函数(，且)与函数互为“2度零点函数”，且函数有三个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令，对方程直接进行求解，验证是否成立；

（2）求解的零点，当时，，所以只需限定当时，的零点范围，解关于的不等式，再结合函数与图像有三个交点，得到a的取值范围．

【详解】（1）证明：令，得．

令，得．

因为，所以，所以函数与互为“1度零点函数”．

（2）令，得．

设存在零点，则，不等式两边平方得，即．

当时，，当时，令，得，

所以，得．

有三个零点等价于函数与的图象有三个交点，

因为，，

所以在上单调递减．易知，的零点为．

画出与在上的大致图象，如图所示，

易得与的图象在上有两个交点，所以与的图象在上必须有一个交点，

得，化简得．

令函数，即的图象与直线在上有一个交点．

因为，由的图象（图略）可得，或，即或．

综上，a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：

（1）直接法：即令，对方程直接进行求解，方程解的个数就是零点的个数；

（2）数形结合法：数形结合法求函数的零点，是将的方程转化为两个函数，根据两个函数的交点个数来确认零点个数；

（3）零点存在定理：利用零点存在定理，再结合函数的性质(通常会用到单调性)确定零点个数；零点存在定理为：如果函数在上连续，且有，则函数在上至少存在一点，使得.

（4）构造函数：可根据题目的不同情况，选择直接作差或者分离参数来构造新的函数，通过求解新函数的值域或最值来判断零点的个数.