2022-2023学年湖南省长沙市雨花区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的定义，即可求得本题答案.

【详解】因为，，

所以.

故选：A

2．函数 的最小正周期是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】代入正弦型函数的最小正周期公式，即可求得.

【详解】函数的最小正周期是.

故选：D

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.

【详解】函数不是奇函数，故A不正确；

函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；

函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；

的图象如图：

所以函数是奇函数且是增函数.

故选：D

4．已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.

【详解】解：因为不等式解集为，

所以方程的解为或，且，

所以，所以，

所以，故ABD错误；

，故C正确.

故选：C.

5．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.

【详解】当时，在区间上单调递增，

此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，

此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.

故选：C.

6．“”是“函数在上为增函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.

【详解】若在上为增函数，则，即，

因为是的充分不必要条件，

所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.

故选：A．

7．在中，已知，判断的形状（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答案可得.

【详解】解：根据正弦定理由，得，即，

所以，所以，

所以为等腰三角形.

故选：D.

8．已知函数，下列四个结论正确的是（    ）

A．函数在区间上是减函数

B．点是函数图象的一个对称中心

C．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到

D．若，则的值域为

【答案】B

【分析】化简的解析式，根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域等知识确定正确选项.

【详解】.

，

所以在区间上递增，A错误.

，所以点是函数图象的一个对称中心，B正确.

的图象向左平移个单位长度得到：

，C选项错误.

，，D选项错误.

故选：B

二、多选题

9．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ）

A．集合为闭集合

B．正整数集是闭集合

C．集合为闭集合

D．若集合为闭集合，则为闭集合

【答案】ABD

【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．

【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；

选项C：当时，设，

则，所以集合M是闭集合，C选项正确；

选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．

故选：ABD．

10．下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断

【详解】对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确，

对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误，

对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确，

对于D，因为，，所以，所以D错误，

故选：AC

11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．点是的对称中心

B．直线是的对称轴

C．在区间上单调减

D．的图象向右平移个单位得的图象

【答案】CD

【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.

【详解】由图知：且，则，

∴，可得，

又过，

∴，得，又，

∴当时，.

综上，.

A：代入得：，故错误；

B：代入得：，故错误；

C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；

D：，故正确；

故选：CD

【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.

12．设函数，给出如下命题，其中正确的是（   ）

A．时，是奇函数

B．，时，方程只有一个实数根

C．的图象关于点对称

D．方程最多有两个实数根

【答案】ABC

【解析】利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，当时，，

此时，故为奇函数，A正确；

对选项B，当，时，，

若，无解，若，有一解，所以B正确；

对选项C，因为为奇函数，图象关于对称，

所以图象关于对称，故C正确，

对选项D，当，时，，

方程，即，解得，，，

故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________

【答案】

【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．

【详解】解：，，

由，

，

当时，满足，

此时，

；

当时，

，

则，

解得．

综上，．

故答案为：．

14．已知为钝角，且，则______.

【答案】

【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系求解即可.

【详解】解：，，

为钝角，

.

故答案为：

15．设则的值是________．

【答案】24

【解析】由分段函数的解析式知：即可求值.

【详解】∵当时，，又，

∴，

故答案为：24

【点睛】本题考查了利用分段函数解析式求函数值，属于基础题.

16．若实数，满足，则的最小值为___________.

【答案】4

【分析】利用两次基本不等式，即可得出答案.

【详解】因为

所以

当且仅当即或时取“”.

故答案为：4.

四、解答题

17．已知，是方程的两根，求下列各式的值.

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式计算可得；

（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到，，从而代入计算可得.

【详解】（1）解：因为，是方程的两根，

所以，，

所以.

（2）解：因为，

所以，

即，

又，所以，

所以，

所以.

18．已知函数（且）的图象经过点和．

（1）求的解析式；

（2），求实数x的值；

【答案】（1）；（2）2或16.

【解析】（1）由已知得，，从而求解析式即可；

（2），即或3，即可求实数x的值；

【详解】（1）由已知得，，，（且）

解得，；

故；

（2），即或3，

∴或3，

∴或16.

19．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．

(1)求m的范围；

(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分类讨论函数的类型，当时，根据函数零点的定义求出零点；当时，根据判别式列式可求出结果；

（2）转化为(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有两个不同的实根，利用判别式和韦达定理列式可求出结果.

【详解】（1）当时，函数化为，

令，得，此时函数有零点，符合题意；

当时，由函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有零点，可得，即且，

综上所述：的取值范围是：.

（2）因为函数有两个不同零点，所以(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有两个不同的实根，

所以，解得且，

设(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的两个不同的实根分别为和，

则，，

因为，所以，

所以，解得，符合题意.

综上所述：.

20．设函数．

(1)若，求函数的值域；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简的解析式，由，可得，从而得到答案.

（2）化简可得，由余弦函数的图像性质可得答案.

【详解】（1），即．

因为，所以，

即，即，

所求函数的值域为．

（2），即

令，，得，，

即函数在区间，上单调递增

要使函数在区间上单调递增，

只需，即，

所求实数m的取值范围是．

21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低

(2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

【分析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，，利用基本不等式求最值可得答案；

（2）设该工厂每月的利润为,，利用配方求最值可得答案.

【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，

，

∴，

当且仅当，即时取等号，

当时，每吨平均处理成本最低.

（2）设该工厂每月的利润为，

则，

∴，

当时，，

所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.

22．已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，，，都有.

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围.

（2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方法，求得的取值范围.

【详解】（1）设任意，，满足，

由题意可得，

即，

在定义域上是增函数.

则可化为，

解得，a的取值范围为.

（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，

对任意的都恒成立，

恒成立，

即对任意的都恒成立，

令，，

则只需，

解得，的取值范围.

【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号.