2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高一下学期阶段性质量调研（开学考试）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高一下学期阶段性质量调研（开学考试）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过解不等式求得，结合补集的定义求解即可.

【详解】由，即，解得，故，

由，即，解得，故，

所以．

故选：B．

2．已知，则“”是“点在第一象限内”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.

【详解】若，则在第一或三象限，

则或，则点在第一或三象限，

若点在第一象限，

则，则.

故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.

故选：B

3．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断的范围，然后根据解析式求解即可

【详解】因为，所以，

所以，

所以，

故选：A

4．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设直角三角形较短的直角边长为，可得出较长直角边长为，由此可计算出小正方形和大正方形的边长，进而可得出关于的三角等式，进而可解得的值.

【详解】设直角三角形较短的直角边长为，则较长直角边长为，

所以，小正方形的边长为，大正方形的边长为，

由于小正方形与大正方形面积之比为，所以，，

由于，则，

由已知条件可得，解得，因此，.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何概型的概率公式求解角的正切值，解本题的关键在于将小正方形和大正方形的边长用表示，并根据已知条件列出方程组求解.

5．函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据最值可得A，由零点和最小值点可得周期，进而得，代入点的坐标可得，所以得函数的解析式，从而可求解的值.

【详解】解：由图可知，，即，所以，

所以，

因为函数的图象过点，

所以，又，

所以，

所以，

所以，

故选：C.

6．已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解.

【详解】因为函数满足时，恒有成立，

即函数满足时，恒有成立，

所以函数在上单调递增，

所以，解得.

故选：D.

7．已知函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数奇偶性的定义判断的奇偶性，再由函数奇偶性与单调性将不等式转化为，即可求解的取值范围.

【详解】解：函数，

则，所以为偶函数，

因为在区间上单调递增，，

所以，则，

解得：，

即满足的的取值范围是.

故选：A.

8．已知是方程的零点（其中为自然对数的底数），下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】函数在R上单调递增，而，，

而是方程的零点，则，即，A正确；

由得：，整理得：，B正确；

因，，则，C不正确；

因，则有，D正确.

故选：C

【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，有时还需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)一起解决．

二、多选题

9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a、b、，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】取特殊值可判断AD，利用不等式性质判断B，根据指数函数的单调性判断C.

【详解】对于A，时，不成立，故A错误；

对于B，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B正确；

对于C，因为为R上的单调增函数，所以可得，故C正确；

对于D，取，可知不正确，故D错误.

故选：BC

10．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（　　）

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍

B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍

C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度

D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度

【答案】BC

【解析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论．

【详解】要得到函数的图象，

可将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，

然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到．

也可将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，

然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得．

故选：BC．

【点睛】易错点：y＝Acos(ωx+φ)(ω>0)的图像是由y＝Acos(ωx)(ω>0）向左平移个单位长度而得的,而不是向左平移个单位长度.

11．已知函数，下述正确的是（    ）

A．函数为偶函数

B．函数的最小正周期为

C．函数 在区间上的最大值为1

D．函数的单调递增区间为

【答案】ACD

【分析】对于A，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；

对于B，由函数的周期，求得函数的最小正周期；

对于C，由已知求得，根据正弦函数的性质可求得函数 在区间上的最大值；

对于D，由，求解即可得函数的单调递增区间.

【详解】解：因为，所以

对于A，，又，所以函数为偶函数，故A正确；

对于B，函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故B不正确；

对于C，当时，，所以，所以，

所以函数 在区间上的最大值为1，故C正确；

对于D，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故D正确，

故选：ACD.

12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．若为方程的两实数根，且，则

B．若方程的两实数根都在，则实数的取值范围是

C．若，，则实数的取值范围是

D．若，，则实数的取值范围是

【答案】ABD

【分析】对于A，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B，结合二次方程的实根分布可求；对于C，由已知不等式分离参数可得，然后结合基本不等式可求；对于D，由已知结合二次函数的性质可求.

【详解】对于，因为为方程的两实数根，即是方程的两实数根，所以满足，

因为，

则，此时，故正确；

对于B，因为方程的两实数根都在，即方程的两实数根都在，

所以需满足，可得，故B正确；

对于C，因为，，则，

即，因为，则，故C错误；

对于D，因为图像开口向上，

，，都有，

所以，即，

解得，

故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则的值为___________.

【答案】##0.25

【分析】设幂函数为，代入点，求得，进而可求得结果.

【详解】设幂函数的解析式为，

因为幂函数的图象经过点，可得，解得，

即，所以.

故答案为：.

14．已知函数(且)的图像经过定点A，且点A在角的终边上，则_____________.

【答案】

【分析】求出指数型函数f(x)经过的定点A，根据三角函数的定义即可求出式子的值.

【详解】令，则，

故，∵A在的终边上，∴，

∴.

故答案为：.

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.

【答案】##

【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，则，

又，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，当且仅当时等号成立.

∴的最小值为.

故答案为：.

16．设函数，，若对，都，使得，则实数的最大值为______．

【答案】

【分析】根据恒能成立的思想可知的值域是值域的子集，令，结合二次函数性质可求得的值域为，由对数型复合函数值域的求法可知若的值域为，则；分别在、和的情况下，根据二次函数的性质构造不等式求得的范围，进而确定最大值.

【详解】对，都，使得，的值域是值域的子集；

令，则，令，

当，即时，，的值域为；

设的值域为，则；

设的值域为，若，则；

当时，的值域，满足；

当时，的对称轴为，，

解得：，；

当时，的最大值为，，满足题意；

综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．，，非空集合．

(1)时，求.

(2)若是的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）先求出集合A、B，再求出，根据交集运算即可；

（2）由题意可知，列出不等式组求解即可．

【详解】（1）对于集合A，，解得，

所以，当时，集合，

因为，所以；

（2）若是的必要条件，可知．

因为非空集合，，

故，解得： 或，

故a的取值范围为或.

18．已知

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可；

（2）利用诱导公式进行化简，然后由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可

【详解】（1）

（2）

19．已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．

(1)求出的解析式，并求在上的值域；

(2)求在上的单调增区间．

【答案】(1)；；

(2)，.

【分析】（1）根据函数最大值与最小值的差为4，求得A，再由相邻两个零点之间的距离为，求得，然后由函数的图象经过点，求得函数的解析式；利用正弦函数的性质求得值域；

（2）令，结合，利用正弦函数的性质求解．

【详解】（1）因为函数最大值与最小值的差为4，所以A＝2，

又相邻两个零点之间的距离为，所以，所以，

所以，又函数的图象经过点，

所以，即，

所以或，，

解得或，，

又，所以，所以；

当时，，则，

故在上的值域为.

（2）令，解得，

因为，所以或，

所以在上的单调增区间是，．

20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求的值；

(2)求在上的解析式；

(3)若函数有零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

(3)

【分析】（1）由求得.

（2）根据的奇偶性求得的解析式.

（3）由分离常数，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，

所以.

（2）由（1）得，当时，，

所以，

所以

（3）函数有零点等价于方程有根，

分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，

所以求k的范围，即求函数的值域，

记，即，

①当时，显然在上单调递减，所以，

所以时，，

②当时，令，则，

记，，

因为对称轴，所以在上单调递增，

所以，即，

所以时，，

综上所述，的值域为，

所以当时，函数有零点．

21．已知函数，（，，）．

(1)当，，且有最小值2时，求的值；

(2)当，时，有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)的值为2；

(2)实数的取值范围是．

【分析】（1）根据得到，然后分和两种情况列方程，解方程求即可；

（2）将在上恒成立转化为，然后根据复合函数的单调性得到，列不等式求的范围即可.

【详解】（1）当时，．

若，则，解得，不成立；

若，则，解得，

综合上述，所求．

（2）由得，即，，

令，，，

函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以函数在上是增函数，

所以，所以，即，

所以实数的取值范围为．

22．已知，，其中且．

(1)若，，求实数的取值范围；

(2)用表示中的最大者，设，讨论零点个数．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据二次函数值域可知，结合且可得结果；

（2）当或时，由（1）可知无零点；当时，由，结合可知恰有个零点；当和时，结合零点存在定理可确定的零点个数.

【详解】（1）对，恒成立，，解得：，

又且，则实数的取值范围为.

（2）①若或，则由（1）知：恒成立，此时无零点；

②若，则当时，，

又，恰有个零点；

③若，则当时，；

当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点；

又，恰有个零点；

④若，则当时，；

当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点；

又，恰有个零点．

综上所述：当时，的零点个数为；当时，的零点个数为；当时，的零点个数为．

【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数.