2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（二）（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（二）

一、单选题

1．设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】图中阴影部分所表示的集合为，全集，，所以 ，，故选C.

2．给出命题：方程没有实数根，若该命题为真命题，则的一个值可以是（    ）

A．4 B．2 C．0 D．

【答案】C

【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可

【详解】解：由方程无实数根得，应满足，解得，故当时符合条件.

故选;：C.

【点睛】本题考查根据命题的真假求参数问题，是简单题.

3．已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的正负即可判断.

【详解】解：由图知，的定义域为，令时，或，

由为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，关于原点对称，

对A，当时，，，所以，故A错误；

对B，由图知，当时，，当时，

结合奇函数的对称性可得时的图象，故B正确；

对C，由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；

对D，由选项A和B的分析知，当时，，故D错误.

故选：B.

4．，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系．

【详解】，

，，

．

故选：．

5．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（    ）（参考数据：）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】设该污染物排放前过滤的次数为，由题意，两边取以10为底的对数可得，根据参考数据即可求解.

【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为，

由题意，即，

两边取以10为底的对数可得，即，

所以，

因为，

所以，

所以，又，

所以，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.

故选：C.

6．已知sin，则sin+cos的值为（    ）

A．0 B． C． D．-

【答案】C

【分析】由诱导公式可得，，即可得出结果.

【详解】因为，所+

=+==2

故选：C.

【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了计算能力，属于基础题目.

7．函数（）的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.

【详解】由，可得，

，

仅当，即时等号成立，故的最小值为.

故选：B

8．已知幂函数为偶函数，若函数在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的特征和性质可得，代入，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.

【详解】依题意有，解得或．又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或．

故选：B．

二、多选题

9．已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（    ）

A．函数在上不具有单调性

B．当时，在上递减

C．若的单调递减区间是，则a的值为

D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是

【答案】BD

【解析】对于A，取可判断；对于B，可得的单调递减区间为，即可判断；对于C，由题可得无解，即可判断；对于D，讨论和即可求出.

【详解】对于A，当时，在上单调递减，故A错误；

对于B，当时，对称轴为，开口向上，的单调递减区间为，，在上递减，故B正确；

对于C，若的单调递减区间是，则无解，故C错误；

对于D，当时，在上单调递减，满足题意；当时，若在区间上是减函数，则，解得；综上，故D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数的单调性问题，解题的关键是求出函数的对称轴和开口方向，根据二次函数的图象和性质列不等式求解.

10．已知，，，则的值可能是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】BCD

【解析】,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

【详解】由，得，则且.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

综上，.

故选：BCD.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11．对于函数的图象为C，叙述正确的是（    ）

A．图象C关于直线对称

B．函数在区间内是增函数

C．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

D．图象C关于点对称

【答案】AB

【分析】将代入函数中，若取到了最值，则图像C关于直线对称，否则不对称；先求出的递增区间，然后判断；利用正弦函数图像平移变化规律判断；图像的对称中心是其图像与轴的交点，所以将点坐标代入验证即可.

【详解】解：对于A，将代入函数中得，，所以直线 是图像C的一条对称轴，故A正确；

对于B，由≤≤，得≤≤，所以函数在区间内是增函数是正确的；

对于C，由于，所以的图像是由的图像向右平移个单位长度可以得到，故C不正确；

对于D，当时，，所以图像C不关于点对称，故D不正确；

故选：AB

【点睛】此题考查了正弦函数的图像与性质，考查了正弦函数的图像平移变换规律，属于基础题.

12．是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列选项正确的有（    ）

A． B．

C． D．当时，

【答案】ACD

【分析】由题意可得，把2代入求得可判断A；当时，，时，，由此可知，进而可判断BCD

【详解】因为是奇函数，是偶函数，

所以，

解得，

对于A：，故A正确；

由，

当时，，

所以，

当时，，，

所以，

又，

则有，

，

所以，故B错误；

对于C：

，故C正确；

对于D：由B可知，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．函数的递减区间是________.

【答案】

【分析】求出函数的定义域，并求出函数的单调递增区间，利用复合函数法可得出函数的单调递减区间.

【详解】对于函数，，即，解得.

由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

外层函数在上为减函数，

由复合函数法可知，函数的单调递减区间为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数单调区间的求解，涉及复合函数法的应用，在求单调区间时，还应注意求出该函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.

14．已知，，则等于________．

【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值.

【详解】，，因此，．

故答案为：．

15．若，为正实数，，且，，则___________.

【答案】3.

【分析】根据题意，可知，，再根据基本不等式中的“1”用法，结合题意以及不等式取等号的条件，即可求出的值，进而求出结果.

【详解】由题意可知，，为正实数，，

所以

又

所以，

即

当且仅当（①）时，取等号，

即

所以（②）

联立①②，因为，所以，则，

所以，所以.

故答案为：.

16．是定义域为R的偶函数，满足，对于任意的且，都有成立．如果，则实数m的取值范围是_________．

【答案】

【分析】首先构造函数，然后根据已知条件判断的奇偶性与单调性，根据构造的函数将问题转化为，最后根据的单调性与奇偶性解出参数的取值范围即可.

【详解】已知对于任意的，且，都有，

得，即.

，，.

令，得对于任意的，且，都有成立，

即得在上单调递减.

又为偶函数，为偶函数.

已知，，得，即.

为偶函数，故得.

又在上单调递减，

，解得或.

故实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，

(1)当时，求；

(2)若___________，求实数的取值范围.

在①；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并按照你的选择求解问题（2）.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据并集的定义计算可得；

（2）根据所选条件均可得到，可判断，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）解：当时，又，

所以；

（2）解：若选①，则，

显然，即，

所以，解得，即；

若选② “”是“”的充分条件，则，

显然，即，

所以，解得，即；

若选③，则，

显然，即，

所以，解得，即；

18．（1）化简：；

 （2）求值：

【答案】（1）；（2）65

【分析】（1）根据根式的性质与指数幂运算法则即可计算;

（2）由对数运算法则运算即可

【详解】（1）；

（2）

19．已知.

(1)求；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知结合诱导公式可求，

（2）结合已知及同角平方关系可求，然后利用诱导公式及同角平方关系可求．

【详解】（1）解：，

，

（2）解：，则又，

，

，

，

．

20．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.

(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

【答案】(1)；

(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.

（2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可.

【详解】（1）由题设，当时，令，

又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，

∴，解得.

∴，

故时，，

所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人.

（2）由（1）知：，

∵时，当且仅当等号成立，

∴上，

而上，单调递减，则，

综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

21．已知二次函数满足，且

(1)求的解析式；

(2)若函数在时有最大值2，求a的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设，利用恒等关系以及列方程求解即可；

（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）设，

由，得对于恒成立，

故，解得，

又由，得，

所以

（2）由，

当时，；

当时，；

当时，，

根据已知条件得或或，

解得或

所以a的值为或

22．经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”．

(1)若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式；

(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，．

（i）求的解析式；

（ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可；

（2）（i）由题意可知为奇函数，进而，由此可求出时的解析式，即可求解；

（ii）由的单调性结合“保值”区间的定义，分类讨论即可求解

【详解】（1）为定义在上的奇函数，

当时，，

所以，

又，

所以；

（2）（i）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，

所以为奇函数，

所以，即，

时，，

所以．

所以；

（ii），

当时，在单调递增，

当时，则

即方程在有两个不相等的根，

即有两个不相等的根，

令，则

又，

所以有不可能有两个不相等的根；

当时，在单调递增，

当时，则

即方程在有两个不相等的根，

即有两个不相等的根，

令，则

又，解得，

当时，易知在上单调递增，

所以在单调递增，

此时，

即，

令，则易知在单调递减，

所以即，

又时，，

当且仅当，即时取等，

所以，此时无解；

综上可知：的取值范围是