2022-2023学年上海市南汇中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市南汇中学高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．设实数满足，则_________.

【答案】

【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.

【详解】因为，

所以，

故答案为：16

2．已知函数是幂函数，则实数__________.

【答案】2

【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义直接计算作答.

【详解】因为函数是幂函数，则，解得，

所以.

故答案为：2

3．已知集合，，则______．

【答案】

【分析】根据给定条件求出集合B，再利用并集的定义直接计算作答.

【详解】解方程得：或，则，而，

所以.

故答案为：

4．若指数函数在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是______.

【答案】

【分析】由指数函数单调性去判断即可解决.

【详解】由指数函数在R上是严格减函数

可知，即

故答案为：

5．函数，的最大值为______.

【答案】-2

【分析】通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.

【详解】因为 ，则，

由于 是减函数，所以，

故答案为：-2

6．已知，则____________.

【答案】2

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.

7．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为______.

【答案】

【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.

【详解】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的弧长，

所以面积.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..

8．已知等式恒成立，其中，，为常数，则__________.

【答案】

【分析】本题首先可将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果.

【详解】因为等式恒成立，

所以恒成立，

则.

故答案为：

9．设为奇函数，且当时，，则当时，=____

【答案】

【分析】根据函数是奇函数，得，由，得，代入已知的函数关系中，可得解.

【详解】是奇函数， ，

因为时，．

当时，，，

所以时，．

故填：.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.

10．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】令，所以函数的最大值为，即可求解.

【详解】令，所以函数的最大值为，

要使得关于的不等式的解集为，所以.

故答案为.

【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，其中解答中求得分段函数的最大值解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11．设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　.

【答案】

【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.

【解析】函数的最值问题..

12．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短

【答案】

【解析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和，再根据含绝对值三角不等式求最值.

【详解】设格点的坐标为，则，，

根据含绝对值三角式可知

横轴方向距离和，

，

此时的最小值是14，此时三个等号成立的条件是，所以时，的最小值是，

纵轴方向的距离和，

此时的最小值是9，三个等号成立的条件是 ，即或，

当时，此时格点位置是，是垃圾回收点，舍去，所以，此时格点坐标是.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题是具有实际应用背景的习题，本题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离，利用含绝对值三角不等式求最值.

二、单选题

13．若，则“”是“，”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】写出的等价条件，结合充分必要定义判断即可.

【详解】由可得或，，

∴推不出，，

但，能推出，

∴“”是“，”的必要非充分条件.

故选：B

14．用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为（    ）

A．、都能被5整除

B．、不都能被5整除

C．、至多有一个能被5整除

D．、至少有一个都能被5整除

【答案】D

【分析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，可知应假设命题的否定成立.

【详解】假设的内容是命题“与都不能被5整除”的否定为“、 至少有一个能被5整除”.

故选：D

15．定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分和两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果.

【详解】当时，可化为，

又为偶函数且，所以不等式可化为，

因为在上是增函数，所以，解得；

当时，可化为，

又为偶函数且，所以不等式可化为，

因为在上是增函数，所以，解得；

综上所述：不等式的解集为.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.

16．函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则．

其中正确判断有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据函数定义，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对①：取，，满足，

但，，，故①错误；

对②：若，由函数定义可得，

所以，故②正确；

对③：取，，满足，

但，，，故③错误；

对④：假设，且，

则存在，则所以所以，

且，

若，则，所以，所以，矛盾，假设不成立；

若，则，矛盾，假设不成立；

所以若，则，故④正确.

故选：B.

三、解答题

17．已知角的终边经过点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答；

（2）利用三角函数定义，结合差角的正弦公式计算作答.

【详解】（1）角的终边经过点，所以.

（2）角的终边经过点，则该点到原点距离，

因此，

所以.

18．已知，其中a为实数.

（1）当时，证明函数在上是严格增函数；

（2）根据a的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，奇函数；当时，非奇非偶函数，理由见解析.

【解析】（1）当时，得到函数，利用函数单调性的定义，即可作出证明；

（2）分和两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论.

【详解】（1）当时，函数，

设且，

则

，

因为，可得

又由，可得，所以

所以，即，

所以函数是上是严格增函数.

（2）由函数的定义域为关于原点对称，

当时，函数，可得，此时函数为奇函数；

当时，，此时且，

所以时，函数为非奇非偶函数.

19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.

（1）求函数的解析式；

（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）

【答案】（1）；（2）14分钟.

【解析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；

（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.

【详解】（1）当时，设函数，

因为，所以，所以，

当时，，

由，解得，所以，

综上，函数的解析式为.

（2）当时，令，

即，解得或（舍去），所以，

当时，令，得，

所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.

20．已知.

(1)当时，作出函数的图象，若关于的方程有四个解，直接写出的取值范围；

(2)若的定义域和值域均为，求实数的值；

(3)若是上的严格减函数，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)作图见解析，；

(2)2；

(3).

【分析】（1）把代入，分析函数的性质及图象特征，作出的图象，再求出m的范围作答.

（2）根据给定条件，利用单调性求出函数最大值即可作答.

（3）由单调性求出a的取值范围，再求出在指定区间上的最值，列式求解作答.

【详解】（1）当时，，当或时，，当时，，且，

函数的图象如图，

关于的方程有四个解，即直线与函数的图象有4个公共点，

由图象，可得，

所以的取值范围是.

（2）函数图象的对称轴为，依题意，，函数在上单调递减，

因为函数在上值域为，所以，且，

解得，

所以实数的值为2.

（3）因为函数是上的严格减函数，所以，所以，显然，

函数在上单调递减，在上单调递增，而，

因此，，

因为对任意的，总有成立，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

21．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.

(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；

(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；

(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）利用函数的单调性，求出的值域，再结合定义判断作答.

（2）利用函数的单调性，求出的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.

（3）根据给定条件，可得，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.

【详解】（1）函数在R上单调递增，则在区间上的值域为，

显然有，

所以函数为区间上的“倍缩函数”.

（2）因为函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，

因此函数是定义域上的增函数，

因为函数为上的“倍缩函数”，则函数在上的值域为，

于是得，即是方程的两个不等实根，

则方程有两个不等实根，

令，则关于的一元二次方程有两个不等的正实根，

因此，解得，当时，函数恒有意义，

所以实数的取值范围是.

（3）常数，函数的定义域为，并且，

假定存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”，

则函数在区间上的值域为，由，及知，

因为函数在上单调递增，即，

若，即，则函数在区间上的值域中有数0，矛盾，

若，即，当时，在上单调递减，

有，即，整理得，显然无解，

若，即，当时，在上单调递增，

有，即是方程的两个不等实根且，

而方程，于是得方程在上有两个不等实根，

从而，解得，而，即有，

解方程得：，

所以当时，存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”， ，

当时，不存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.