2022-2023学年江西省吉安市高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省吉安市高一上学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由交集和补集的定义即可得出答案.

【详解】解：由题意得，∴．

故选：D.

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．， D．，

【答案】B

【分析】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.

【详解】相同函数有相同定义域及相同解析式.

对于选项A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；

对于选项B：函数与函数 的定义域都是，

又，则两函数解析式也相同，则为同一函数，故B正确.

对于选项C：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误；

对于选项D：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误．

故选：B

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由存在量词命题的否定即可得出结论.

【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为“，”.

故选：C.

4．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的单调性，由可得出，根据函数在上的单调性可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】对任意的，，，所以，函数的定义域为，

，则函数为偶函数，

因为函数、在上均为增函数，

所以，函数在上为增函数，

则等价为，即，

平方得，即，解得.

故所求的取值范围是．

故选：B.

5．已知，则使得取得最小值时x的值为（    ）

A．1 B．2 C．±1 D．±2

【答案】C

【分析】把化为，从而利用基本不等式即可.

【详解】解：，

当且仅当，即时取等号．

故选：C.

6．已知，则3，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出，并分别算出，，就可知道两者的大小，对进行估算，可知，从而确定结果.

【详解】∵，∴，，

∴，，

∵，

∴，

又，，

∴，，

∴，

∴．

故选：D.

7．给出下列数据

则方程的近似解可以为（    ）A．1.55 B．1.53 C．1.57 D．1.62

【答案】C

【分析】根据函数零点存在性定理确定方程近似解即可.

【详解】令，由已知表格中的数据，可得：

，

，

，

，

，

∵，

∴函数在(1.563,1.6)内有零点，

∴方程的近似解在(1.563,1.6)内，只有C选项满足．

故选：C

8．设函数是定义在上的函数，且，当，，则在区间内，关于x的方程解的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】求方程 解的个数，即求函数与图象的交点个数，结合两个函数的图象，即可得到本题答案.

【详解】解：∵函数是定义在上的函数，，∴的对称轴为，

又当时，，∴，，

当时，，当时，.

故函数与在区间内的图象如图所示：

根据图象可得函数与在区间上有3个不同的交点，故在区间内，关于x的方程解的个数为3．

故选：C

9．若，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】根据对数的定义和对数运算法则判断．

【详解】时，无意义，A错；

由对数函数的性质知B正确；

时，成立，但不成立，C错；

若，无意义，D错．

故选：B．

二、多选题

10．下面结论正确的是（    ）

A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件

B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件

C．若，，A与B相互独立，那么

D．若，，A与B相互独立，那么

【答案】BCD

【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.

【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，

但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；

对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；

对于C，如果A与B相互独立，则

，故C正确；

对于D，如果A与B相互独立，

则，故D正确．

故选：BCD．

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数

B．的最小值为，没有最大值

C．在区间上单调递减，上单调递增

D．方程的实根个数为2

【答案】BCD

【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A；设点，则表示x轴上的点P到A，B两点的距离之和，即，结合图像分析即可判断BC；再分，和三种情况讨论，即可判断D.

【详解】，不是偶函数，故A错误；

设点，

由题意知：函数，

可以表示x轴上的点P到A，B两点的距离之和，即，

因为，当且仅当点P移动到点B时，取等号，

所以的和的最小值为，没有最大值，

即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；

当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，逐渐变小，

即函数在区间上单调递减，

当点P由点B向x的正半轴方向移动时，逐渐变大，

即函数在区间上单调递增，故C正确；

方程，即，

由选项C可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，

当时，；当时，，，

∴存在唯一的使得；

当时，故等价于，解得（舍去），

综上，方程的实根个数为2，故D正确．

故选：BCD．

12．已知函数，下面关于x的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ）

A．当时，原方程有6个根

B．当时，原方程有6个根

C．当时，原方程有4个根

D．不论a取何值，原方程都不可能有7个根

【答案】ABC

【分析】由解析式可画出图像，则方程的根的个数为函数的图像与直线交点的个数.结合图像可知在m取各种值时的根的情况，

又，后分别判断各选项即可.

【详解】令，则方程实根的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由于，

做出函数的图像，如下图所示：

当时，函数的图像与直线交3点的只有1个，故方程实根的个数为1个；

当或时，函数的图像与直线交点的有2个，故方程实根的个数为2个；

当时，函数的图像与直线交点的有3个，故方程实根的个数为3个．

方程，可化为.

AB选项，当时，，方程有3个不等实数根，分别记为，，，且，，，

从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根，

∴方程有6个不等实根，故AB正确；

当时．，方程有2个实数根分别为－1，1，

从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根，

∴方程有4个不等实根，故C正确；

当时，，方程有3个不等实数根，分别为0，和e，

从而方程有2个不等实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根，

则方程有7个不等实根故D错误；

故选：ABC．

【点睛】关键点点睛：本题涉及用数形结合思想研究函数的零点，难度较大.函数有零点等价于函数对应方程有根，故对于可较为方便画出图像的函数常用数形结合研究函数零点，其次对于含的表达式，常令，从而简化式子.

三、填空题

13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．

【答案】15

【分析】求出摸到白球的频率，从而得到白色球的可能个数.

【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，

∴摸到白球的频率为，

故口袋中白色球的个数可能是个．

故答案为：15

14．已知函数，若，则a＝__________．

【答案】

【分析】先用换元法求得函数，然后结合对数的计算，即可求解.

【详解】解：根据题意，设，则，故．

若，则，解得．

故答案为：

15．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．

【答案】04

【分析】根据随机数表法进行抽样即可.

【详解】从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右依次选取两个数字中，小于20的编号依次为08，14，02，14，12，04，02，00，13，

去除重复项，且属于总体的对应的数值为08，14，02，12，04，13，

则第5个个体的编号为04．

故答案为：04

16．已知是定义在上的奇函数，且当时，函数单调递增，

设，集合，集合，则__________．

【答案】

【分析】根据条件可得的解集，转化集合，则表示使在上恒成立的的取值集合，进而求得结果.

【详解】∵是定义在R上的奇函数，当时，函数单调递增，，

∴或，

则集合，可变形为

，

又集合，

故，

∴在上恒成立，

即在上恒成立，

设，

则满足，即，

解得，

故．

故答案为：

四、解答题

17．计算求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)36

(2)9

【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

【详解】（1）原式；

（2）原式

.

18．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．

(1)求的概率；

(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．

【答案】(1)

(2)这种游戏规则不公平，理由详见解析

【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得；

(2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断.

【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，

其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；

（2）这种游戏规则不公平，理由如下：

设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，

由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，

由古典概型的概率计算公式可得，∴，

∵，故这种游戏规则不公平．

19．2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值；

(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；

(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）

【答案】(1)

(2)众数75分；中位数分，平均数71分

(3)74分

【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可；

（2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案；

（3）已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，即为频率分布直方图的中位数，求解即可.

【详解】（1）由题意，解得；

（2）抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分；

由频率直方图可得前三组的频率和为，

前四组的频率和为，故中位数落在第四组，

设中位数为x，则，解得，

故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分，

抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：

分；

（3）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，

由（2）可得，中位数，

故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．

20．新冠肺炎从2019年底开始在全球蔓延，我国医务工作者一方面发扬救死扶伤的精神，与疾病作顽强的斗争，另一方而不断研究新冠肺炎病毒，开发出疫苗的同时也研发出了口服药，并进行临床试验，取得了积极的效果．在某种药物的多次动物实验中，医务工作者得到下面的信息：药物每服用1片，在体内的药物浓度y随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为，若服用多片，则某一时刻在体内的药物浓度为相应时刻的浓度之和．当体内的药物浓度不低于6时，药物才有效．

(1)若一次服用4片药物，求药效作用时间可持续多久？

(2)若第一次服用2片药物，6小时后再服用a（）片药物，要使接下来的2小时都能够有效，求a的最小值．

【答案】(1)7小时；

(2)2.

【分析】（1）代入数量得到的解析式，求解不等式的解集，由此计算出有效治疗时间；

（2）先分析第小时，体内的药物浓度，利用不等式恒成立，二次函数的性质求得时应该满足的范围，从而确定出的最小值.

【详解】（1）由题意知，当一次服用4片药物时，体内的药物浓度为，

则当时，由，解得，

∴恒成立，

当时，由，解得，

∴，

综合得，即一次服用4片药物，药效作用时间可持续7小时；

（2）由题意知，第小时，体内的药物浓度为

，

由得，

∵，∴，

设，由二次函数的性质可知，当时，单调递增，

即当时，，

故，即a的最小值为2．

【点睛】(1)根据题意列出的解析式，分段求解是此问的关键；

(2)分析第小时，表示出体内的药物浓度的函数式是本题的难点，利用不等式恒成立，根据二次函数性质求解最小值是易错点，二次函数经常在函数模型应用中有很广泛的应用，要多加重视.

21．给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定．

已知二次函数满足，且          ．

(1)求的解析式；

(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先利用，可求的值.若选①，根据函数的图象与直线只有一个交点，则交点为函数的顶点，可求；若选②，设是函数的两个零点，则，利用韦达定理可求；

(2) 令，则，因为对任意，恒成立，等价于在上恒成立，进一步根据在上的单调性求得的最大值，从而求得实数m的取值范围.

【详解】（1）∵二次函数满足，

又，

∴，

∴，解得．

∴二次函数，

若选①：∵函数的图象与直线只有一个交点，

∴交点为函数的顶点，即，解得，

∴的解析式为；

若选②：设是函数的两个零点，则，由根与系数的关系可知，，

∴，解得．

∴的解析式为；

（2）由，得，

当时，，

令，则，

∴对任意，恒成立，等价于在上恒成立，

∴．

又在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当时，，

∴，

即实数m的取值范围为．

22．已知函数，分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且满足（且）．

(1)若，令函数，当，求的值域；

(2)若，讨论当时，关于x的方程的根的个数．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据函数的奇偶性通过解方程组法求出函数的解析式，结合换元法、配方法进行求解即可；

（2）根据奇函数的性质，结合函数的单调性，利用数形结合思想、分类讨论思想进行求解即可.

【详解】（1），

又∵，分别是R上的奇函数和偶函数，

∴，解得，

∴，

又，解得或，当或时，，

令，

当时，，

∴，

设，，

，

则值域为，即的值域；

（2）∵，

∴，又为奇函数，

∴，

∵在R上单调递增，在R上单调递减，

∴在R上单调递增，

∴原方程可化为，

∴，

当时，原方程不成立，则不是原方程的解

当时，，

原方程根的个数即为函数与函数图像交点的个数，

结合图像可知，

当时，函数，没有交点，∴原方程无解；

当时，函数，有两个不同交点，∴原方程有两个不等根；

当时，函数，有四个不同交点，∴原方程有四个不等根；

当时，函数，三个不同交点，∴原方程有三个不等根；

当时，函数，有两个不同交点，∴原方程有两个不等根；

当时，函数，有三个不同交点，∴原方程有三个不等根；

当时，函数，有四个不同交点，∴原方程有四个不等根；

综上所述，

时，原方程根的个数为0；

或时，原方程根的个数为2；

或时，原方程根的个数为3；

或时，原方程根的个数为4．

【点睛】关键点睛：将方程解的问题转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合思想进行求解是解题的关键.