2022-2023学年辽宁省本溪市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省本溪市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省本溪市第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．设P和Q是两个集合，定义集合且.如果，，那么=（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简集合P，Q，后由所给定义可得答案.【详解】由题，，则.，则.则由题中所给定义有：.故选：A2．已知，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出不等式的解集， 由是的充分不必要条件列不等式确定的取值范围.【详解】由得，所以或，解得或，所以或，又，是的充分不必要条件，所以或所以，所以k的取值范围是.故选：A.3．若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（    ）A．[0，2022] B．C．（1，2024] D．【答案】D【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案.【详解】因的定义域是[1，2023]，则由可得：，则定义域为：.故选：D4．已知某药店只有，，三种不同品牌的口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是，，买B品牌口罩的概率分别为，，则甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲、乙两人买相同品牌的口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌或品牌的口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果．【详解】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率分别是、，所以甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为．故选：D．5．已知函数，是上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数可得且，故可得函数只能是上的单调递减函数，结合二次函数和对数函数性质列不等式即可.【详解】由可得且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在上不可能是增函数，则函数是上的单调递减函数，所以，解得，综上：实数a的取值范围为，故选：A.6．已知，，规定：当时，；当时，，则（    ）A．有最小值－1，无最大值 B．有最小值－2，无最大值C．有最大值2，无最小值 D．有最大值－1，无最小值【答案】B【分析】在同一直角坐标系画出函数，的图象，结合题中规定，得到函数的图象，最后利用数形结合进行判断即可.【详解】在同一直角坐标系内画出，的图象，如下图所示：根据题中规定，得到函数的图象如下图；根据数形结合思想结合图象可知函数有最小值－2，无最大值，故选：B7．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.【详解】若，此时，，而，故无解；若，此时，，而，令，，画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立，则要，解得：.故选：B.8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[]）的乘积等于常数．已知pH值的定义为 ，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：1g2≈0.301，1g3≈0.477）（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用[]，[]之间关系把转化为，结合题目条件可得，则.验证各选项以10为底的对数即可判断各选项正误.【详解】由题，，则.又由题有：.则.A选项，，其不在内，故A错误；B选项，，其不在内，故B错误；C选项，注意到，又，，则，其在内，故C正确；D选项，，其不在内，故D错误.故选：C 二、多选题9．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（    ）A．这种抽样方法是分层抽样B．这5名男生成绩的20%分位数是87C．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数【答案】BC【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可．【详解】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A错误，5名男生成绩的20%分位数是87，故B正确，5名男生成绩的平均数为，5名女生成绩的平均数为，5名男生成绩的方差为，5名女生成绩的方差为，由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C正确，D错误.故选：BC．10．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（    ）A．甲中奖的概率B．乙中奖的概率C．只有乙中奖的概率D．甲、乙都中奖的概率【答案】AD【分析】由条件列出样本空间，利用古典概型概率公式求各事件的概率即可判断.【详解】设中奖奖券为1,2，不中奖的奖券为3,4,5，则随机试验首先由甲、然后由乙各抽一张的样本空间为,,,,，共20个基本事件，事件甲中奖包含基本事件,，共8个，所以事件甲中奖的概率，选项A正确；事件乙中奖包含基本事件,，共8个，所以事件乙中奖的概率，选项B错误；事件只有乙中奖包含基本事件,，共6个，所以事件只有乙中奖的概率，选项C错误；事件甲、乙都中奖包含基本事件，共2个，所以事件甲、乙都中奖的概率，选项D正确.故选：AD.11．下列结论正确的是（    ）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是【答案】AB【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【详解】时，，当且仅当时取等号，正确；当时，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值是2，B正确；当时，，当且仅当时等号成立，故有最大值1，C 错误；，，，则，当且仅当且即，时取等号，的最小值是，D错误；故选：AB．12．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下列命题正确的是（    ）A．B．当时，C．函数的定义域为，值域为D．函数是增函数【答案】AB【分析】将代入解析式，即可判断A项；当时，，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.【详解】对于A项，，则A正确；对于B项，当时，，得出，则B正确；对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C错误；对于D项，，， 函数不是增函数，则D错误；故选：AB. 三、填空题13．若关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______【答案】【分析】根据一元一次不等式的解集得到且，从而得到，解出答案即可.【详解】由题意得：，则，可知且，则变形为，不等式两边同除以得：，解得：，不等式的解集为.故答案为：14．已知，，若对，，使得，则实数m的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意只需根据去求出参数范围即可.【详解】由对数函数的单调性可知，在上单调递增，故；由指数函数的单调性可知，在上单调递减，故，为使得，，使得，只需，即，解得.故答案为：15．已知函数，则不等式的解集为______．【答案】【分析】令，，判断函数的单调性与奇偶性，从而得到，则原不等式等价于，再根据函数的单调性化简可得不等式的解集.【详解】令，，则，定义域为，则，，所以，为奇函数，又，在定义域上单调递增，所以为定义域上的奇函数，所以关于对称，因为，所以关于对称，所以，即则，即，即所以，解得，不等式的解集为故答案为：.16．已知函数 ,则＝________.【答案】【分析】先判断的范围，根据周期性得到,从而得到的值，【详解】因为，所以，则，则.【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于简单题. 四、解答题17．已知集合，．(1)求(2)若，求m的范围；【答案】(1)(2)． 【分析】（1）化简集合A，B，后由交集定义可得答案；（2）由，可得，分和 两种情况讨论可得答案.【详解】（1）因，则，故.因，则，故.则.（2）因为，则．当时，即当时，，满足题意；②当时，即当时，，要使得，则，解得．综上所述，实数m的范围是．18．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润是16万元． 【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数；（2）分别利用二次函数及基本不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意当时，；当时，．所以.（2）当时，，此时，当时，取得最大值10；当时，，此时，当且仅当，即时，取得最大值16．因为，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万元．19．函数．（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）；（2） ；（3）【解析】（1）当时，恒成立，利用判别式，求解即可；（2）当时，恒成成立，令，该二次函数对称轴为，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求，解不等式求实数a的取值范围；（3）令，恒成立，即恒成立，函数是关于a的一次函数，只需，求解不等式得到实数x的取值范围.【详解】（1）当时，恒成立，即恒成立，则，即，解得所以实数a的取值范围是．（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称轴为，分如下三种情况讨论：①当，即时，函数在上单调递增，，解得，此时无解；②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，此时；③当，即时，函数在上单调递减，，解得，此时；综上可知，实数a的取值范围是．（3）令，当时，恒成立，即恒成立，函数是关于a的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即，解得或 所以实数x的取值范围是【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.20．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用样本估计总体，若高三年级共有名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中任意抽取人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有人被抽到的概率．【答案】(1)，平均数为；中位数为(2)(3)． 【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数；（2）由频率分布直方图求出不低于分的频率再乘以即可求解；（3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生恰有人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可得，第组的频率为，所以．由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为：．由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中．设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为．（2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为，用样本估计总体，可以估计高三年级名学生中成绩不低于分的人数为．（3）由（1）可知，位于，，的人数分别为：，，，这三组中所抽取的人数分别为，，，记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为，则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，其中成绩在的学生恰有人被抽到包含的基本事件为，，，，，，，，，有9个．故成绩在的学生恰有人被抽到概率为．21．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一或第二场比赛甲输了，其他两场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.（2）五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢了二场比赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）设表示甲队在第场比赛获胜．则事件甲队获胜可表示为，所以事件甲队获胜的概率，所以．（2）设表示甲队在第场比赛获胜，则事件乙队在第四场比赛后获胜可表示为，所以事件乙队在第四场比赛后获胜的概率为，所以所以，22．已知函数（其中为自然对数的底）是定义域为的奇函数．(1)求t的值，并写出的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若函数在上的最小值为－2，求k的值．【答案】(1)或，(2)在上单调递减，证明见解析(3)． 【分析】（1）由函数为R上的奇函数，得到，求出或，所以，（2）用定义法求解函数的单调性；（3）令，从而得到在上的最小值为－2，结合在上是增函数，分和两种情况，求出相应的最小值，列出方程，求出的值.【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即，解得:或，所以，又此时满足，所以．（2）在上单调递减．证明如下：设，则，因为，所以，所以，，可得，即所以在上单调递减；（3）由（1）可知，令，则，因为在上是增函数，且，所以．因为在上的最小值为－2，所以在上的最小值为－2．因为，所以当时，即时，解得或（舍去）；当时，即时，不符合题意，舍去；综上可知，．