2022-2023学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设，，．则集合（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.

【详解】，，，

，.

故选：D.

2．已知，则函数的最小值为

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，可得，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以函数的最小值为.

故选：C.

3．已知，则函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；

【详解】因为在上单调递增，

又，，，，

所以，

所以函数的零点所在区间为

故选：C

4．在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可．

【详解】当时，函数在上单调递减；

函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误；

当时，函数在上单调递增；

函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误．

故选：A．

5．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.

【详解】由已知得，解得.

所以函数的定义域为.

故选：D.

6．函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令可得定点.

【详解】令，即，得，

函数（其中，）的图象恒过的定点是.

故选：B.

7．设函数，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.

【详解】∵，

∴，

故选：C．

8．设函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，解得即可.

【详解】解：因为定义域为，

又，

所以为偶函数，

当时，在上单调递增，

在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以在上单调递增，

则不等式等价于，等价于，

所以，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：B

二、多选题

9．若a，b，，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】通过举反例来判断AD，利用不等式的性质判断BC.

【详解】对于A：若，此时，A错误；

对于B：，，B正确；

对于C：，，C正确；

对于D：，若，则，D错误.

故选：BC.

三、单选题

10．与表示同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案.

【详解】定义域为，且

对于A：，定义域也为，A正确；

对于B：的定义域为，定义域不一样，B错误；

对于C：的定义域为，定义域不一样，C错误；

对于D：的定义域为，定义域不一样，D错误；

故选：A.

四、多选题

11．已知，，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由题有：.

A选项，由对数函数单调性可判断；

B选项，由对数运算公式可判断选项；

C选项，，利用基本不等式可判断选项；

D选项，，注意到，后利用基本不等式推论可判断选项.

【详解】由题有：.

A选项，因函数在上单调递增，则，

故A正确.

B选项，，故B正确.

C选项，，由基本不等式，当，

，故C错误.

D选项，，，由C分析，

，故D正确.

故选：ABD.

12．已知函数是定义域为的奇函数，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．

B．函数在上的最大值为

C．函数在上是减函数

D．存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根

【答案】AC

【分析】根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断C，求出函数的值域，即可判断B，根据单调性判断D.

【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数，

所以，解得，此时，

则

，符合题意，故A正确；

又，

因为，所以，则，所以，即，故B错误；

因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减，

所以在定义域上单调递减，故C正确；

因为在上是减函数，则与最多有个交点，故最多有一个实数根，

即不存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，故D错误.

故选：AC

五、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则______．

【答案】

【分析】先设出幂函数的解析式，然后代入已知点可求出，进而可得的值.

【详解】设幂函数，

则，得.

，

.

故答案为：.

14．______．

【答案】

【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可.

【详解】.

故答案为：.

15．若命题p：“，”为假命题，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【分析】原题转化为方程有解，求出的范围，然后在中的补集即为所求.

【详解】因为“，”

所以方程有解，

当时，方程无根；

当时，，即

又因为命题是假命题，则

综上：

故答案为：

16．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：）

【答案】

【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.

【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，

整理可得.

故答案为：.

六、解答题

17．已知非空集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由交集，补集的概念求解，

（2）转化为集合间关系后列式求解，

【详解】（1）当时，，，则,，

（2）由题意得是的真子集，而是非空集合，

则且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是

18．已知一元二次函数，．

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）直接解二次不等式即可；

（2）变形得，分，，讨论，通过确定的大小来解二次不等式.

【详解】（1）由已知得，

解得或.

实数a的取值范围；

（2），

令，得，

当，即时，的解集为，

当，即时，的解集为，

当，即时，的解集为，

综上所述：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

19．已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)已知实数a满足，求a的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分类讨论去绝对值画图可得值域；

（2）分，和三种情况讨论.

【详解】（1）函数

画图为：

从图像可得值域为；

（2）当时，即，函数在单调递增，

又因为，所以与矛盾，所以舍去；

当时，即，函数在单调递减，

又因为，所以与矛盾，所以舍去；

当，，所以

，所以

又因为，即，所以；

综上：.

20．已知函数．

(1)求函数的解析式；

(2)证明函数为减函数．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）令，得，代入条件即可；

（2）任取，然后通过计算判断的正负来证明单调性.

【详解】（1）令，得，

，

因为，解得，

；

（2）任取，

，

，

，，

，

，

，即，

所以函数为上的减函数.

21．已知函数，其中且．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)为偶函数

(3)

【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域；

（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性；

（3）由为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）解：由，解得，

∴函数的定义域为；

（2）解：为偶函数，

的定义域为关于原点对称，

且

，

∴函数为偶函数；

（3）解：因为为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，

即在上恒成立，

∴在上恒成立，∴，

故实数的取值范围是.

22．设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）.

（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：；

（2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.

【答案】（1）见解析（2）4

【详解】（1）由条件得，.

不妨设，则

.

故.

（2）依据题意，.

所以，.

故.

又任取，且，则.

由（1）知，，即，在区间上是增函数.

故.

.

当且仅，即，亦即t = 0时取等号.

故的最小值为4.