2022-2023学年山东省滨州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省滨州市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合B的补集，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意全集，集合，

可得，

故，

故选：B

2．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”是假命题

B．命题“”的否定是“”

C．命题“”是真命题

D．命题“”的否定是“”

【答案】C

【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的知识确定正确答案.

【详解】A选项，自然数都是整数，所以命题“”是真命题，A选项错误.

B选项，命题“”的否定是“”， B选项错误.

C选项，当时，，所以“”是真命题，C选项正确.

D选项，命题“”的否定是“”， D选项错误.

故选：C

3．已知函数是奇函数，当时，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出a值作答.

【详解】函数是奇函数，，则，又当时，，

即有，解得，

所以.

故选：D

4．已知，且，则的最小值为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解最小值作答.

【详解】因为，且，则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为4.

故选：B

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由得到，用换底公式把写出以18为底的对数，即可分解.

【详解】由，，

所以，，

所以.

故选：C.

6．已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答.

【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，

因此函数在上都单调递减，

在上最多一个零点，，即有，

，则，而，即，

所以.

故选：A

7．定义，若，则关于函数的三个结论：

①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实数根，则m的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】先令，求得函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断①②；方程实根的个数，即为函数交点的个数，数形结合即可判断③.

【详解】令，得或，

则，

则函数在上递减，

又当时，，所以该函数在上单调递减，故②正确；

当时，，

当或，，

所以函数的值域为，故①错误；

方程实根的个数，即为函数交点的个数，

作出两个函数的图象如图所示，

由图可知两函数图象有4个交点时，m的取值范围是，故③正确，

所以正确结论的个数是2个.

故选：C.

8．已知，记，则x，y，z的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合三角函数的性质可得，再利用对数函数单调性结合“媒介数”判断作答.

【详解】依题意，，则有，且，

因此，，，

所以.

故选：A

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．幂函数的图象都过点

B．函数与是同一函数

C．函数的最小正周期为

D．若为三角形的一个内角，且，则

【答案】ACD

【分析】根据幂函数性质判断A；根据函数的三要素判断B；求出函数的周期判断C；根据三角形内角范围结合正切函数性质判断D.

【详解】由幂函数的性质可知幂函数的图象都过点，A正确；

函数的定义域是R，的定义域为，

二者定义域不同，故不是同一函数，B错误；

函数的最小正周期为，C正确；

为三角形的一个内角，且，即，故，D正确，

故选：ACD

10．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，逐一判断各选项中函数的奇偶性及在上的单调性作答.

【详解】对于A，函数定义域为R，是非奇非偶函数，A不是；

对于B，函数的定义域为，是偶函数，

当时，在上单调递增，B是；

对于C，函数定义域为R，是偶函数，当时，在上单调递增，C是；

对于D，函数定义域为R，是偶函数，当时，在上单调递增，D是.

故选：BCD

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，且，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质推理判断B，C；举例说明判断A，D作答.

【详解】对于A，取，满足，而，A错误；

对于B，由得，，，因此，B正确；

对于C，，于是得，而，因此，C正确；

对于D，取，满足，有，即，D错误.

故选：BC

12．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．函数图象的对称轴过函数图象的对称中心

C．在区间上，函数与都单调递减

D．，使得

【答案】ABD

【分析】根据平移得出的解析式，再根据对称关系，得出的取值，再根据三角函数性质即可判断A、B、C三个选项，D选项题意为在区间内，的值域是值域的子集，求出两个函数值域即可作出判断.

【详解】A． 的图象向左平移个单位得，因为的图象与的图象关于y轴对称，所以，A正确；

B．，其对称轴为，，其对称中心为，B正确；

C．当，在此区间单调递减，在此区间单调递增，C错误；

D．当时，的值域为，的值域为，因此，使得，正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知一个扇形面积为16，其圆心角为，则该扇形周长为______.

【答案】16

【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.

【详解】根据扇形面积可知，代入题中数据可得，则该扇形周长为

故答案为：16

14．已知，则______.

【答案】##1.5

【分析】根据给定条件，利用指数运算及根式运算求解作答.

【详解】因为，则，

所以.

故答案为：

15．已知角满足，则____________

【答案】

【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可.

【详解】因为，所以有：

故答案为：.

16．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为______.

【答案】2

【分析】根据给定条件，用分别表示，再利用和角的正切及均值不等式求解作答.

【详解】依题意，，

显然，由得：，

即，整理得，

在中，，

当且仅当，即时取等号，

所以PQ的最小值为2.

故答案为：2

四、解答题

17．已知集合.

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入条件，根据并集定义计算即可；

（2）根据已知条件可知B是A的真子集，根据集合的包含关系计算即可．

【详解】（1）若，则               

又，

所以.

（2）解：，        

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，         

所以（不能同时取等号），                                 

解得，所以实数a的取值范围是.

18．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)记函数，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数型复合函数定义域的求法求得函数的定义域.

（2）化简的解析式，结合二次函数的性质求得函数的值域.

【详解】（1）要使函数有意义，x须满足

解得，

所以的定义域为.

（2）由，

得，

又由，

得

，

因为，

所以的值域是.

19．在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆O交于A，B两点，且.

(1)求的值；

(2)若点A的纵坐标为，求点B的纵坐标.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，确定的范围，再利用平方关系求解作答.

（2）利用三角函数的定义，结合差角的正弦公式求解作答.

【详解】（1）因为都是锐角，则，而，

所以.

（2）因为角终边与单位圆交点纵坐标为，则，

又因为角为锐角，因此，

所以，

所以B点的纵坐标为.

20．已知函数为奇函数.

(1)求实数a的值，判断的单调性并用函数单调性的定义证明；

(2)解不等式.

【答案】(1)，函数在上是增函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数为奇函数可得，求出，再利用定义法判断函数的单调性即可；

（2）方法一：利用函数的单调性及，解不等式即可.

方法二：将代入函数解析式，化简，再根据指数函数和对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）因为的定义域是，且为奇函数，

所以，得，

当时，，

所以符合题意，

函数在上是增函数，

证明：任取，且，

则，

因为在上是增函数，且，

所以，                                        

因为，

所以，即，                     

所以在上是增函数；

（2）方法一：

由（1）知在上是增函数，且，

所以由，得，                                

所以，                                              

所以原不等式的解集为.

方法二：

由，得，                          

因为，所以原不等式化为，                            

即，所以，

所以，                                                       

所以原不等式的解集为.

21．已知函数的最大值为，

(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；

(2)求函数的单调递增区间.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简可得，所以，可得的值，令，可得的值；

（2）令，进而解出，即可求解.

【详解】（1）

.

当时，函数取到最大值，

所以，即，  

令，得，                              

所以当函数取到最大值时的集合为.

（2）由（1）得，

所以令，

得，

所以函数的单调递增区间为.

22．近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用.

(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？

(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.

【答案】(1)6小时

(2)2

【分析】（1）根据题意得到，再分类讨论与两种情况下，的解集情况，从而得解；

（2）根据题意得到从第一次喷洒起，经过x（）小时后，浓度为，从而利用基本不等式求得，进而解不等式即可得解.

【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以空气中释放的消毒剂浓度为，

当时，，解得；

当时，，解得；

综上求得，

所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达6小时.

（2）设从第一次喷洒起，经过x（）小时后，浓度为

，

因为，所以，

所以，即，

当且仅当，即时，等号成立，

又，则，满足，等号成立，

所以当接下来的4小时中能够持续有效消毒时，可得，

解得，又，，所以a的最小值为2.

【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．